函数的零点与方程的解-2025年高考数学备考复习.pdf

第 二 章 函 数第7讲函数的零点与方程的解课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解函数零点与方程解的关系.2.了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.判断函数零点所在区间本讲是高考的热点，主要考查函数是否存在零点，判断函数的零点个数，利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，题型以选择题、填空题为主，有时与导数等知识综合考查，一般难度较大.备考时，要掌握函数零点存在定理及数形结合思想.判断函数的零点个数2021 北京 T15；2019全国卷IHT5函数零点的应用2023 天津 T15；2022 天津 T15；2020 天津 T9；2019浙江T9d学生用书P0431.函数零点的概念对于函数=/(x)，我 们 把 使 f(x)=0 的实数x 叫 做 函 数(x)的零点.注意 零点不是点，是满足/(x)=0 的实数x.2.三个等价关系3.零点存在定理如果函数y=/(x)在区间 a,b 上的图象是一条连续不断的曲线，且 有 f(a)/(b)0,那么，函数y=/(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在cd (a,6),使 得 f(c)=0,这个c 也就是方程/(x)=0 的解.注意(1)函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点.(2)对于连续函数/(x),在 a,6 上，/(a)/(6)0是/(x)在(a,b)上存在零点的充分不必要条件.规律总结(1)若图象连续不断的函数/(x)在定义域上是单调函数，则函数/(x)至多有一个零点.(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值同号.4.二分法对于在区间 a,6 上图象连续不断且/(a)/(Z?)0的函数y=/(x),通过不断地把它的 零 点 所在 区 间 一 分 为 二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.门思维拓展给定精确度,用二分法求函数y=/(x)零点x o 的近似值的一般步骤：1 .确定零点x o 的初始区间 a,6 ,验证/(a)/(b)0.2 .求区间(a,b)的中点c.3 .计算/(c),并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)=0 (此时x o=c),则 c 就是函数的零点；(2)若/(a)f(c)0 (此时x o W (a,c),则令 b=c；(3)若 f(c)f(b)0 (此时x o d (c,6),则令 a=c.4 .判断是否达到精确度g：若 I a 6 I,则得到零点近似值。

或6)；否则重复步骤2-4.|r UE M1.下列说法正确的是(D )A.函数的零点就是函数的图象与X 轴的交点B.若函数y=/(x)在 区 间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则/(a)-f Cb)0;当x=3 时，y=l I n 3 0,解析 当xWO时，由x?+x2=0,得 x=-2.当x 0 时，由一l+ln x=0,得 =6.所以f (x)的零点为一2,e.4.已知函数y=/G)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：Xi23456y124.433-7 424.536.7-123.6则函数y=/(x)在区间 1,61上 的 零 点 至 少 有 3个.解析 依题意，f (2)0,f(3)0,f (5)0,根据零点存在定理可知，f (x)在 区 间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有1个零点，故函数y=/(x)在区间 1,6 上的零点至少有3 个.6学生用书P044命题点1判断函数零点所在区间例 1 (1)2024海南模拟 函数/(x)=x+sinx2 的零点所在区间为(B)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析 因为/(x)=l+c o s 2 0,所以/(x)在定义域内单调递增.因为/(1)=-1 +sin 1 0,所以函数/(x)的零点在(1,2)内.故选B.(2)函数/(x)=log3%+x2 的零点所在的区间为(B)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析 解 法 一函数f (x)=log3x+x2 的定义域为(0,+),并且/(x)在(0,+8)上单调递增,由题意知/(1)=-1 0,根据零点存在定理可知，函数/(x)=log3x+x-2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内.故选B.解法二将判断函数/(x)的零点所在的区间转化为判断函数g(x)=log3X,h(x)=x+2 图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知/(X)的零点所在的区间为(1,2).故选B.方法技巧确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：先看函数y=/(x)在区间 a,6 上的图象是否连续，再看是否有 f (a)f (b)0.(2)数形结合法：画函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，也可转化为观察两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.训练 1 若 a 6 0,f (b)=(bc)(b)0,所以/()f(Z?)0,f (Z?)f(c),则关于X的函数歹=2 (x)-3/(x)+1 的零点的个数为(B)A.3 B.7 C.5 D.6解析 根据题意，令)2(X)y (x)+1=0,得/(X)=1 或/(X)=；.作 出 产f (x),y=l9尸 g的图象，如图所示，由图象可得/(x)的图象与直线y=l 和歹=，分别有3 个和4 个交点，故关于x 的函数=2俨 3-3于3+1 的零点的个数为7.方法技巧判断函数零点个数的方法(1)直接法：令/(X)=0,解方程可得.(2)利用函数的零点存在定理：利用函数的零点存在定理结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)判断.(3)图象法：将判断函数/(x)零点个数转化为判断函数/(x)的图象与x 轴交点的个数，或将函数/(X)拆成两个函数(X)和 g(X)的差的形式，判断函数了 =力(X)和y=g(X)的图象的交点个数.训练2(1)定义在R 上的函数y=/(x)满足/(x+2)=/(x),且 x e 1,1 时，f (x)=1 十.若函数g(x)=(则函数人(x)=f(x)g(X)在区间(ex,x=/(x)是周期为2 的函数，因为工 1,1 时，/(%)=1%2,所以作出y=/(x)的图象，如图所示.再作出函数g(x)的图象，容易得出所求交点为13个.故选B.(ex,%2,三个交点，则实数人的取值范围为(D)A.(2V 2-6,0)B.(2V 3-6,0)C.(-2,0)D.(2V 5-6,0)(4x v 2 的图象，如图所示.g(x)=kx10g3(xl),x 2 JKT k=k (x3),故 g(x)过 定 点(3,0),设 过(3,0)且与 y=4 一I .N相切的直线为/,切点为尸(xo,4XQ),x o 2,因为/=-2 x,所以,.切线的斜率为左=-2 x o=匕色，解得xo=3一通或 o=3+遮(舍 去)，所以切线的斜率左%0 3=2 V 5-6,由图象知，要想函数/(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数后的取值范围为(2V56,0).角度2根据函数零点的范围求参数的范围例 4 已知函数/G)=3工一等.若存在配6(8,-1),使得/(x o)=0,则实数a 的取值范围是(B)A.(一8,2)B,(0,-)33A.C.(8,0)D.(-,+8)3解析 由/(x)=3 二 =0,可得 Q=3%.令g (x)=3X%(8,1).由于存在祝 (8,1),使得/G o)=0,则函数g (%)的值域即为实数的取值范围.因为函数y=3%和歹=一 在 区 间(一8,1)上均单调递增，所以函数g (x)在(一8,1)上单调递增，所以g (x)=3X 0,所以函数g(x)的值域为(0,因此，实数a的取值范围是(0,故选B.方法技巧已知函数零点情况求参数取值范围的方法(1)直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数的取值范围.(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题.(3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，最后数形结合求解.角度3 函数零点(或方程根)的和例 5 2 0 2 3 广东六校第一次联考 定义在R上的函数/(x)满足/(-X)+/(x)=0,f(x)=f(2 x)；且当 x W 0,1 时，f(x)=x3/+X.则方程 7/(x)x+2 =0 所有的根的和为(A )A.1 4 B.1 2 C.1 0 D.8解析 由/(x)+/(x)=0,f(x)=f(2-x)可得/(x)为奇函数，且图象关于直线x=l 对称，且易得/(x)的周期为4.当 x G 0,1 时，f(x)=x3x2x,此时 f(x)=3 x22 x+1=3 (x：)2+1 0,故f(x)=好一r+x在 0,1 上单调递增.综上，可画出y=/(x)的部分图象如图所示.方程V(X)x+2=0 的根，即y=/(x)与(x 2)的图象的交点的横坐标，作出直线/:(x 2),易知直线/也关于点(2,0)对称且y=/(x)与/的图象在区间-5,2),(2,9 上均有3 个交点，且关于点(2,0)对称，加 上 点(2,0)共 7 个交点，所以方程(x)x+2=0 所有的根的和为3 X 2 X 2+2=1 4.故选A.方法技巧解函数零点(或方程根)的和的问题的方法(1)把函数零点转化为方程的根，通过解方程，求出方程的所有根，再求出这些根的和.(2)作出函数的草图，通过函数的图象的对称性，得出函数零点的对称性，从而求出这些零点的和.训练3(1)2023湖北省沙市中学模拟 若函数/(x)=ln x+N+a 1在 区 间(1,e)内有零点，则实数。

的取值范围是(A)A.(-e2,0)B.(-e2,1)C.(1,e)D.(1,e2)解析 函数/(x)的定义域为(0,+),因为函数y=ln x 与 =工2在(0,+)上均单调递增，所以函数/(X)=lnx+x2+a1在(0,+)上单调递增，则由函数/(x)在 区 间(1,e)内有零点知/(I)f (e)0,即 a(e2+a)0,解得一e 2 a 0,故选A.(2x+3,x 0,IfCx)2“(x)的所有零点之和为(D)A.2 B.3 C.O D.I解析 令 f=y(x),则(?)=/(/),令/=o,可得=/(/),当/o 时，由祥=/(/),可得=(j2)2,即一书+4=0,解得f=l；当f0 时，令(x-2)2=1 或(x2)2=1 (舍 去)，解得了=1 或 x=3;当 x0时，令 2x+3=l 或 2x+3=1,解得 x=l 或=一 2,所以函数 g(x)=f(x)2/V(x)的零点之和为1+3 12=1.故选D.(3)多选023廊坊模拟 已知函数/(x)=I x2+3 x+l -a x ,则下列结论正确的是(AC)A.若/(x)没有零点，则 aG(8,0)B.若/(x)恰有2 个零点，则 a d (1,5)C.若/(x)恰有3 个零点，则 a=l 或 a=5D.若/(x)恰有4 个零点，则 aG(5,+8)解析 f (0)=1W O,所以x=0 不是/(x)的零点；当xWO时，由 f (x)=0,整理得 a=I x+3 I ,令 g(x)=I x+-+X X3 I ,则函数/(x)的零点个数即为函数g(x)=I x+3 I 的；(-图象与直线y=a 的交点个数，作出函数g(x)=1 x+(+3 I 的大致图象(如图).由图可知，若/(x)没有零点，则 aC(一8,0),故 A 正确；若一(X)恰有2 个零点，则 adOU(1,5),故 B 不正确；若/(x)恰有3 个零点，则 a=l 或 a=5,故 C 正确；若/(x)恰有4 个零点，则(0,1)U(5,+8),故 D 不正确.故选AC.f-HeSST 提升思康-B学生用书P046复合函数的零点问题角 度 1判断复合函数的零点个数e%x 0,个 数 为(B)A.2 B.3 C.4 D.5解析 由 2|/。