8函数与不等式--恒成立与存在性问题.doc

课题：函数与不等式 ———— 恒成立与存在性问题要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究，这是高考命制压轴题的一个考查点．一、恒成立问题（一）主干知识整合1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)x∈D，f(x) ≤C；(2)x∈D，f(x) ≤g(x)；(3)x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C； (4)x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|.3．不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值①若不等式Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上B>f(x)max⇔f(x)的上界小于B.(2)分离参数法①将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式；②求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值；③解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围．(3)转换成函数图象问题①若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)的图象在函数y＝g(x)的图象上方；②若不等式f(x)c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值．变式新题：已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x．求a的取值范围，使得对任意x∈[1,2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x＋1图象的下方．解答：由题意得对任意的实数x∈[1,2]，f(x)0，从而x－为增函数，由此得max＝；当x∈[1,2]时，′＝1－>0，从而x＋为增函数，由此得min＝2，所以1时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，当00.(i)当a≤0时，f ′(x)>0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．而f(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，f(x)<0，与f(x)≥0恒成立相矛盾．所以a≤0不满足题意．(ii)当a>0时，因为当x>a时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数；当00，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－10；当x∈( ，＋∞)时，f′(x)<0.故f(x)在(0, )上单调递增，在( ，＋∞)上单调递减．(2)不妨设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)单调减少．所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4＝.于是g′(x)≤＝≤0.从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.（三）规律技巧提炼在处理恒成立问题时，首先应该分辨所属问题的类型，如果是关于单一变量的恒成立问题，首先考虑参数分离，如果不能参数分离或者参数分离后所形成函数不能够处理，那么可以选择分类讨论来处理；如果是关于两个独立变量的恒成立问题处理，只需要按照上探究点中所讲类型的处理方法来处理即可．二、存在性问题（一）主干知识整合1．在代数综合问题中常遇到存在性问题．与恒成立问题类似，存在性问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法．2．存在性问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)x∈D，f(x)C；(2)x∈D，f(x) g(x)；(3)x1∈D，x2∈D，f(x1)＝g(x2)；(4)x1∈D，x2∈D，f(x1) g(x2)．3．存在性问题处理方法(1)转换求函数的最值；(2)分离参数法；(3)转换成函数图象问题；(4)转化为恒成立问题．（二）要点热点探究►　探究点一 x∈D，f(x)>g(x)的研究对于x∈D，f(x)>g(x)的研究，先设h(x)＝f(x)－g(x)，再等价为x∈D，h(x)max>0，其中若g(x)＝c，则等价为x∈D，f(x)max>c.例1 已知函数f(x)＝x3－ax2＋10.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)<0成立，求实数a的取值范围．解答：(1)当a＝1时，f′(x)＝3x2－2x，f(2)＝14，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f′(2)＝8，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处的切线方程为8x－y－2＝0.(2)解法一：f′(x)＝3x2－2ax＝3x(1≤x≤2)，当a≤1，即a≤。