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浅谈具有依附条件的相互独立事件同时发生的概率 天津市渤海石油第一中学 姜伟 孙栋才 相互独立事件同时发生的概率是高中数学概率一章的核心内容，也是高考中的考察热点及重点，近几年的高考题中, 对具有依附条件的相互独立事件同时发生的概率的考察日益突出,现就此类问题的解答过程及要点举例析解如下:例1:（2008全国一20）．已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；解：（Ⅰ）设事件表示依甲方案第i次即将患病动物化验出来, 设事件表示依乙方案第j次即将患病动物化验出来显然事件与事件具有一定的依附关系（）的相互独立事件，由题意可得：，，，而事件互斥, 与相互独立，由题意可得：所求的概率=此类问题的求解一般分三个步骤：（1）、事件符号化：即将相关的事件用对应符号、表示（强调清楚下脚标的意义）。

2）、概率数据化:根据题意分别求出和3）、结果线性化：根据依附条件列出符合题意的与的线性组合，并根据互斥事件及相互独立事件同时发生的概率公式，求出此线性组合的概率 此题的设问还可如下变形： 变式一：求依方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数的概率；变式二：求依方案甲所需化验次数小于依方案乙所需化验次数的概率；例2:(2009全国2文科).某车间甲组有10名工人,其中有4名女工,乙组有10名工人,其中有六名女工,现采用随机抽样(层内采用不放回简单随机抽样),从甲乙两组中抽取4人进行考核; ….. (3).求抽取的4人中恰有2名男工人的概率解：（3）设事件表示从甲组中抽i个男工人, 设事件表示从乙组中抽取j个男工人,,相互独立, 设求抽取的4人中恰有2名男工人的概率为,则:=例3：.（2008山东卷18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(A/B).解：设事件表示甲得i分，事件表示乙得j分。

由题意可得依存条件为,则有：,, , ；,,由互斥事件的概率公式得此题的设问还可如下变形： 变式一：求甲、乙两个队总得分之和等于3的概率；变式二：求甲队总得分大于乙队总得分的概率；变式三：求甲队总得分等于乙队总得分的概率；解此类题的关键是将依附关系符号化，这是解此类题的核心和难点练习题1：（2009天津卷18）在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10产品中任取3件,求: (2).取出的3件产品中一等品件数多余二等品件数的概率 略解: 设事件表示取一等品i个, 设事件表示取二等品j个,,相互独立,练习题2：（2008天津卷18）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．练习题3．（2006全国卷I）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。

设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率练习题4：（05北京）甲、乙两人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， 甲恰好击中目标的次的概率； 乙至少击中目标次的概率；求乙恰好比甲多击中目标次的概率．练习题5：（07安徽）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立．若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．练习题6：（08江西）因冰雪灾害，某柑橘基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立，该方案预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0、0.9、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑橘产量为第一年的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4.（1）求两年后柑橘产量恰好达到灾前产量的概率求两年后柑橘产量超出灾前产量的概率解：设第一年使得柑橘产量恢复到灾前的1.0，0.9.0.8倍分别为事件，则;第二年使柑橘产量为第一年的1.5倍、1.25倍、1.0倍为事件，则,（1） 由题意：（2） 由题意：。