姜启源数学建模资料.ppt

第六章 稳定性模型6.1 捕鱼业的持续收获6.2 军备竞赛6.3 种群的相互竞争6.4 种群的相互依存6.5 种群的弱肉强食稳定性模型• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定• 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性6.1 捕鱼业的持续收获• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）• 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益问题 及 分析• 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳• 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定背景产量模型假设• 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律• 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下 渔场鱼量满足• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率, N~最大鱼量h(x)=Ex, E~捕捞强度x(t) ~ 渔场鱼量一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程产量模型平衡点稳定性判断x0 稳定, 可得到稳定产量x1 稳定, 渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率产量模型在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大图解法P的横坐标 x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标 h~产量产量最大f 与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半效益模型假设• 鱼销售价格p• 单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞 强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场 鱼量收入 T = ph(x) = pEx支出 S = cEEsS(E)T(E)0rE捕捞 过度• 封闭式捕捞追求利润R(E)最大• 开放式捕捞只求利润R(E) 0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER临界强度下的渔场鱼量捕捞过度ERE*令 =06.2 军备竞赛• 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程• 解释(预测)双方军备竞赛的结局假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。

进一步 假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数目的建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量,  ~ 本方经济实力的制约；k, l ~ 对方军备数量的刺激；g, h ~ 本方军备竞赛的潜力t  时的x(t)，y(t)线性常系数 微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点记系数矩阵特征方程特征根线性常系数 微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点 P0(0,0)微分方程一般解形式平衡点 P0(0,0)稳定平衡点 P0(0,0)不稳定1,2为负数或有负实部p 0 且 q 0p kl 下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平模型,  ~ 本方经济实力的制约；k, l ~ 对方军备数量的刺激；g, h ~ 本方军备竞赛的潜力3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t)很小，但因 ，也会重整军备4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0， 也会因 使该方重整军备，即存在互不信任( ) 或固有争端( ) 的单方面裁军不会持久。

模型的定性解释,  ~ 本方经济实力的制约；k, l ~ 对方军备数量的刺激；g, h ~ 本方军备竞赛的潜力模型6.3 种群的相互竞争• 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食• 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量• 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件模型假设• 有甲乙两个种群，它们独自生存 时数量变化均服从Logistic规律;• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作 用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用对于消耗甲的资源而言 ，乙(相对于N2)是甲( 相对于N1) 的 1 倍对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲 乙的竞争力强模型模型 分析(平衡点及其稳定性)(二阶)非线性( 自治)方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点模型判断P0 (x10,x20) 稳定 性的方法——直接法(1)的近似线性方程平衡点 P0稳定(对2,1)p 0 且 q 0平衡点 P0不稳定(对2,1)p 1时，P3才有意义模型平衡点稳 定性分析平衡点 Pi 稳定条件： p 0 且 q 0种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平 衡点21,11, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点11, 11P1, P2都不( 局部)稳定0(3) 11, 21, 21加上与(4)相区别的 1121 甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝• P2稳定的条件：11, 21, 121 前提下P2存在的必要条件结果 解释21 ~ 甲必须为乙提供足够的食物—— 甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍11, 121条件下使121, 12 0 P: 临界状态q 0 P´ 不稳定 tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.2000 9.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解x~y 平面上的相轨线计算结果（数值，图形）x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t), y(t)的周期约为9.6xmax 65.5, xmin  6, ymax  20.5, ymin  3.9用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。

食饵-捕食者模型(Volterra)消去dt用相轨线分析 点稳定性c 由初始条件确定取指数x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析 点稳定性相轨线时无相轨线以下设y2y1 xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1), Q4(x,y2)相轨线退化为P点存在x1x0x2, 使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线P~中心相轨线是封闭曲线x(t), y(t)是周期函数(周期记 T)求x(t), y(t) 在一周期的平均值轨线 中心用相轨线分析 点稳定性•T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t) 的“相位”领先 y(t)模型解释初值相轨线的方向模型解释r ~食饵增长率d ~捕食者死亡率b ~食饵供养捕食者能力捕食者 数量食饵 数量Pr/ad/ba ~捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比, 与a成反比食饵数量与d成正比, 与b成反比模型 解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降， 但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1, dd+1捕捞战时 捕捞rr-2, dd+2 , 2 1•••xy食饵(鱼)减少， 捕食者(鲨鱼)增加自然环境还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加，益虫减少。

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volterra模型改写多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡, 而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点加Logistic项有稳定平衡点• 相轨线是封闭曲线，结构不稳定——一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状• 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18相轨线趋向极限环结构稳定 两种群模型的几种形式 相互竞争相互依存弱肉强食。