2025年上海市数学高考一轮复习：等式与不等式（讲义）含详解.pdf

专题0 2等式与不等式（讲义）01知识梳理一、等式与不等式1 .不 等 式 的 依 据：实 数 的 有 序 性，即a b a-b 0;a b a-b b=a-b0;ab=a-bb,bc=一 ac加法性质a=bG+c=b+caba+cb+c推论a=b,c=d一 a+c=b+dab,cda+cb+d推广上 -1乘法性质a=b 一 ac=bcab,c0-acbc;ab,c0acb0,cd0-acbd推广a1=b,(iN,i2)-a?.anbi b2.bna1bi 0(ie N,i2)一a1a2.anbi b2 bn乘方性质a=b,n N,nlan=bnab0,n N,nlanbn0开方性质a=b0,n N,n lV a=Vb0ab0,n N,n2 VaVb 0倒数性质一】Ia 8/0一 h|ab,ab0 社 KL证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质bb+m b b-m(1)若 ab0,m0,贝！一-(Z?-m0).a a+m a a-m,厂 1 1 右ab0,且泌 气 彳二、基本不等式.-a+b1 .基本不等式：yab0,Z?0.(2)等号成立的条件：当且仅当归立时，等号成立.a+b t_(3)其中M叫做正数a,b的算术平均数，板 叫 做 正 数a,b的几何平均数.2.基本不等式的证明(1).代数证法要 证 J 而 b,只要证2，而 0显 然 成 立，当且仅当i=b时，中 的 等 号 成 立(2).几何证法如 图，A B 是圆的直径，点 C 是 A B 上一点，AC=a,BC=b.过 点 C 作垂直于A B 的 弦 D E,连 接 AD,BD.可证 ACD-A D C B,因 而 C D Z ab.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为石显 然，当且仅当点C 与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.例 已知a,b,c都是正数，证 明：,卜，)(a+b+b+Ja+J 2证 明：,3岛+击+土)拈皓曲+隹+匍+冷密归C+2+2+y，即 Q+b+c）（士a T O b-rc a-rd 2三、几个重要不等式1 .几个重要的不等式（12+b22ab（a,b R）.（2），号2（。

b 同号）.（3）L（a+ZJ2?H+Zr fa+（t z（&G R）.,b e R）.以上不等式等号成立的条件均为a=b.四、最值定理已知x,y 都是正数，如果积孙等于定值P,那么当x=y 时，和 x+y 有最小值2乖.（2）已知尤,y 都是正数，如果和尤+y 等于定值S,那么当尤=y 时，积孙有最大值为乙注 意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.五、三角不等式|a+b|0时，等号成立）|a-b|a|+|b|（当且仅当ab0时，等号成立）|a|-|b归a+b|（当且仅当ab0时，等号成立）|a|-|b|0时，等号成立）即 a、b R=|a|-|b|ab|0J =O/0）的图象O卜240诒电金or-元二次方程ax1+bx+c=O(O)的根有两相异实根为,X2（X10(O)的解集 小X2 如%1x|xR ax1+Z?x+c0)的解集XXXX200七、分式不等式(1)手O=/(x)g(x)Og(x)(2)器 0=/(x),g(x)0g(x)g(x)丰 0(4)f(x)g(x)|g(x)|o(切2 g(初2(2)|/(x)|g(x)(g(x)0)O f(x)g(x)或f(x)-g(x)；|/(刈 0)o-g(x)/(x)g(x);(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解九、一元高次不等式及其解法1、概念只含有一个未知数，最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式.2、一元高次不等式的解法一元高次不等式的常用解法是数轴标根法，又称穿针引线法，其具体步骤为1.化形：将不等式的一侧化为一次因式或二次不可约因式的积，且每个因式最高次项的系数为正，另一侧化为0;2.求根，标 根；求出各因式所对应的方程的根，在数轴上依次标出温馨提示:要仔细区分点的虚实.3.画曲线；数轴的最右端上方起，从右到左依次经过各个根画曲线；温馨提示:奇次重根穿过数轴，偶次重根穿而不过.4.写解集：在数轴上画出曲线后，根据不等号的方向，写出不等式的解集.温馨提示：1.考虑端点是否能取到；2.各因式中最高次项系数必须为正.例：不等式(X2-9)(x -2)X)的解集是.答 案：x|-3 3十、解含参数的一元二次不等式的步骤根据二次项系数为正、负及零进行分类.根据判别式/与0 的关系判断根的个数.(3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.十一、恒成立问题求参数的范围L一元二次不等式的恒成立问题对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式：(1)在 R 上恒成立；(2)在给定区间上恒成立；(3)给定参数范围的恒成立.处理此类问题的常用方法有：分参法；函数法；变换主元法.2.一元二次不等式在R 上恒成立的条件a 0,(1)不等式ax2+bx+c 0(。

川)对任意实数x 恒成立白J 0.(),(2)不等式ax2+bx+c 0(存0)对任意实数x 恒成立国j0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围.(2)分 参 法：转化为函数值域问题，即已知函数危)的值域为 加，n,贝！加)加恒成立不工加仑即ma；jx)a恒成立=(x)m ax0Q,BP na.4.给定参数范围的恒成立问题解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.02一、单选题1.已 知 则 下 列 不 等 式 正 确 的 是()%A.l-x y2 C.|-I l D.xzyzy跟踪训练2.若 a 人 bB.a1 abC.bbnaa+13.下列不等式恒成立的是（）A.%与 2a b口 ,J a +b B.ab-I 2)C.a+b2JabD.a2+b2-2ab4.已知a,b为 实 数,且力力则下列命题错误的是（）A.abOA.右 a0,b0,则 4ab2什 a+b、B.若-2ab,则0,b0C.右 a i b,则 yab2.什 a+bD.右 2 yab,则 疝 b5.不等式（x+3）（x-l（x 2）&0 解 集 为（)A.%|%工一3或 X2 2B.%|X4 3或尤21C.x-3 x 2 D.%|工二一3或尤=1或无226.函数y=3x+g（x o）的最小值是（）A.4 B.5C.3亚D.2A/37.已知a 0,则 的最小值为（）aA.2 B.3C.4D.58.函 数,=/+/_ 5（尤 25）的最小值为（)A.2 B.5C.6D.79.已知正数。

匕满足a+2Z?=l,则（）10.1 1 1A.ab-B.ab-C.0 ab 0,b 0,a+b =ab,则 2a+Z?的最小值为()D.0ab l,b 0,满足a+b=3,A 3+2/2 B 3+2 0则=7+:的1最 小 值 为a-1 b3+4 近()D3+4 近4 2 2,412.对任意给定的实数a,b,有 时-网 且 等 号 当 且 仅 当（）成立.B.a(a&)0C.ab0D.b(ab)013.己知都是实数，实数c 满足c=|a+目 一 司,实 数 d 满足d=|2a|A.对任意的实数b,恒 有/成 立 B.若c=d,则a6W 0,判断以下哪个选项正确（）C.若c=d,则a 2 0,b0 D.不存在实数a、b,使得cWd14.几何原本卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点/在半圆上，点C 在直径A 3上，且口，设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）A.a +4aba 0,Z?0)2ItC.0,Z?0)a+bB.a1+b2 2yab(0,Z?0)D.0,Z?0)1 5.己知关于x 的不等式Y 一依+bw o的解集为何2 彳 3 ,则关于x 的不等式d-6 元+a （）的解集为（）A.|x|2 x 3B.1x|lx3C.x|2 x 5|D.x|lx o的解集为 x|-l x 2 ,则不等式。

卜?+1）+仇x-l）+c 2办的解集为（）A.x|0 x0C.x%317.已 知 甲 一 小 乙：关于“的 不 等 式 昔 l B.a C.a0 D.a018.关于x 的方程a?+（a+2）x+9a=0 有两个不相等的实数根为,巧,且玉1，那么的取值范围是（）2 2C.O,4 z=4x+,Z?=4y+-,c =4z+,贝!J a,c 三 个 数()y z xA.都小于4 B.至少有一个不大于4C.都大于4D.至少有一个不小于420.已知左e N*,x,y,ze R+,若左（肛+yz+zx）5（工2十%?）,则对此不等式描述正确的是A.若=5,则至少存在一个以x,y,z为边长的等边三角形B.若左=6,则对任意满足不等式的x，y，z 鄢奇库以x,y,z为边长的三角形C.若k=7,则对任意满足不等式的x,%z都有性以x,y,z为边长的三角形D.若 k=8,则对满足不等式的x，y，z 不奇库以羽y,z为边长的直角三角形二、填空题21.已知实数X，y 满足-1 尤、b c 0,A=ab+be,B=ac+b2,C=a2+b2,贝！J A、B、C 大小关系是.23.若实数羽 y,z 2 O,且+y+z=4,2%-y+z=5,则 M=4%+3y+5z 的取值范围是.24.不等式x：9 x +l l 7 的解集为_ _ _.厂一2尤+125.关于彳的不等式5x+l+J2尤-1 4x-2+4-1的解集是.26.函 数 丫=%+上 7(x 2)取得最小值时的x 值为_ _ _ _ _.x+127.九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则.若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 里(注：1 里=300步).2 8.已知正实数x,y 满足x+y=m,函数 4)=)+，,+的最小值为,则实数机取值的集合为.X29.己知实数x，y 满 足 段-2 4+卜-才=|2*7|且 尸 0,则的最小值是30.己知关于x 的不等式k +U+|x-a归5有解，则实数。

的 取 值 范 围 为.31.对任意实数无，若不等式归-1|+归-恒 成 立，则实数的取值范围是32.若关于x 的不等式|尤-1|-|尤-2性片+a+l有解，则实数的 取 值 范 围 是.33.已 知 函 数 力=/+2依+8(a 0),集合A=中(尤)40;(2)炉+x 1 0;(4)(2X-1)2 4；(5)(x+1)(尤+2)4.36.求 不 等 式|3-2x闫 x+l|的解集；(2)已知a 4,若卜4|+归-4 的最小值为3,求实数“的值；(3)若不等式|2a+l|+|2 a-1以 2a+阂+|2 a-时对于任意非零实数 恒成立，求实数x 的取值范围.37.建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”.某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量w(单位：千克)与肥料费用10 x(单位：元)满足如下关系：w(x)=5X2+1 0(0 X 2),335 30.此外，还需要投入其它成本(如施肥的-(2x5)I 8 x人工费等)20%元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为 X)(单位：元).。