2023年北师版八年级数学知识点及经典例题.doc

八年级上册专题一 勾股定理(已知两边求第三边)基础篇一． 勾股定理：如右图，直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有a2+ b2=c2 一）．勾股定理证明：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c求证：a2＋b2=c2分析：⑴准备多个三角形模型，最佳是有颜色的吹塑纸， 让学生拼摆不同的形状，运用面积相等进行证明 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正 解：由面积相等得 4×ab＋（b－a）2=c2， 化简可证a2+ b2=c2（二）．勾股数：具有a2+ b2=c2 特性的正整数；例如：32+ 42=52所以3,4,5是勾股数.例1：在ABC中,∠C=90°，若a2+ b2=c2, (1)若a=3，b=4,则c=__ 5 _. (2)若a=6,c=10,则b=____8__. (3)若c=13，a：b=5:12，则a=__5 _，b=__ 12 _.例2：填入勾股数；（1）8、15、_17__；（2）3、4、__5___；（3）7、24、_25__；（4）6、8、_10__。

自测题：1、在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 17 2、在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 5 3、在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= 6 ，b= 8 二．勾股定理逆定理: 三角形的三边a,b,c满足a2+ b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.三．互逆定理:假如一个定理的逆命题通过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.例4：ADC6449提高篇四． 1.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X2=___7或25_____2.在△ABC中，a2+ b2=25，a2- b2=7，又c=5，则最大边上的高是___2.4_____．3.如右图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC= 17 .ABC341312D4.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m求这块地的面积　　解：s=12×5÷2=30（m2） 30-6=24（m2）DABC5.如图在△ABC中，∠ACB=90º， CD⊥AB，D为垂足，AC=3cm,BC=4cm.求 ① △ABC的面积； ②斜边AB的长； ③斜边AB上的高CD的长。

解：①s=4×3÷2=6（cm2） ②AB=5cm ③CD=2.4cm专题二 勾股定理(方程思想解答折叠问题)一． 方程思想：直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，运用勾股定理列方程A例1：如右图,铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄,DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？解：设AE=x,则EB=(25-X)由CE2=EB2+BC2 得CE2=DE2=152+X2 所以AE=10（KM）CDBE第8题图Ｄx6x8-x46例2：如右图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD=X, 方程为 X2+42=（8-x)2 X=3cmABCDEF810106X8-X48-X例3：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求.CF和EC的长.解：设EC=X, 方程为 （8-x)2=X2+42 X=3cm 所以 FC=4cm EC=3cmBA155C专题三 勾股定理(展开思想解答蚂蚁吃食问题) 例1：如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，1０２０需要爬行的最短距离是多少？解：如下图分析所示第一个图形的值为152+202=252 所以最短距离为25cm1020B5B51020ACEFE1020ACFAECB2015105例2：如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(∏取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法拟定 BB8OA2蛋糕AC８周长的一半６专题四 实数分类题一．实数的分类（按定义分类）例如：1， 2，3万，200%例如： 5.2 ，20%， 例如：， π例如：-1，-2，-3万，-200%例如： -5.2 ，-20%， 例如：-， -π（按正负分类）--2．相反数：互为相反数 ；0的相反数是0；3．绝对值：0 4．倒数：互为倒数 没有倒数.例1：把下列各数分别填入相应的集合里：有理数集合：｛　　，，　　，，　　　　　　　　　　　　　｝；无理数集合：｛　　，　，　　　　　　　　　　　　　　｝；负实数集合：｛　　，　，　　　　　　　　　　　　　　　　｝；自测题：1.在，，，，，0，，中，其中：整数有 ； 无理数有 ； 有理数有 。

例2：的相反数是 ；绝对值是 例3：如图，数轴上与1，相应的点分别为A、B，点B关于A点的对称点为C，设点C表达的数为，求∣-∣+的值 C A B 0 1 解：1-x= 得 x=1-+1 X=2- 所以：∣-∣+=例4：.已知，、互为相反数，、互为倒数，m的绝对值等于1，求的值 解：由题意知 a+b=0 cd=1 m=±1 当m=-1时，有=-2 当m=1时， 有=0专题五 实数（平方根）一．定义：±.性质：1.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； 例如：9的平方根是 ±3 2.0的平方根是0； 3.负数没有平方根 4.正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记着 例如：4的平方根是 +2 5.()2=a (a≥0) 6.=6．绝对值：0 例1：填空题(1)的平方根是_________；(2)(－)2的算术平方根是_________；(3)一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_________，这个正数是_________；(4)的算术平方根是_________；(5)9－2的算术平方根是_________；(6)的值等于_________，的平方根为_________；(7)(－4)2的平方根是_________，算术平方根是_________.答案：(1)± (2) (3)－1 9 (4) (5) (6)2 ± (7)±4 4例2：已知（1-2a)2+=0,求ab的值。

解：由题意知 a= ，b=2 所以 ab=×2=1二． 学会分析在哪两个数的范围之内例3：拟定的值在哪两个整数之间解：由于 9〈13〈16 所以 〈〈 即：3〈〈4例4：求下列各式中的X (1)9X2=25 (2)(X+3)2-16=0解：x2= 解：(X+3)2=16 X=± x+3=±4 当x+3=4时解x=1 当x+3=-4时解x=-7提高篇：1. 一个数X的平方根是2a-3与5-a，求a的值和这个数 解得：（2a-3）=-（5-a）所以a=-2， 这个数是49.2. 若 4，=2，且ab〉0，则a-b= 0 3. 若5x+4的平方根是±1，则x= - 4. △ABC的三边长为a，b，c，且a，b满足+b2-4b+4=0 求c的取值范围 解：由于 +（b-2)2=0 所以 a=1，b=2 〈 而 C〈 解之得1〈C〈3 5. 已知（a+b+2）（a+b-2）=45，求a+b的算术平方根。

解：（a+b）2-4=45 （a+b）2=49 所以 a+b的算术平方根为9专题六 实数（立方根）定义：.性质：1.正数有一个正的立方根 例如： 2.负数有一个负的立方根 例如： 3.0的立方根就是0自身 例如：例1：求下列各式的值：(1) (2)；　；　(3)　 ； (4) ；　 答案：(1)10 (2)　　(3)　 (4) 1　例2：已知X-2的平方根是±2, 2X+Y+7的立方根是3。