单元检测卷10.doc

单元检测卷(十)圆锥曲线与方程(选修·文/理)时间：90分钟，满分：150分一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)1．(2009·福建高考)若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝(　　)A．2　　　 B.　　　　 C.　　　 D．1[答案]　B2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)A．－2 B．2 C．－4 D．4[解析]　椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.[答案]　D3．(理)已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　)A．x2＝y－ B．x2＝2y－C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2[解析]　抛物线y＝x2的标准方程是x2＝4y，故F(0,1)．设P(x0，y0)，PF的中点Q(x，y)∴⇒∴x＝4y0，即x2＝2y－1.[答案]　C(文)F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，若|PF|＝2，则点P的坐标是(　　)A．(3，) B．(±2,1)C．(1,4) D．(0,0)[解析]　抛物线y＝x2的标准方程是x2＝4y，其准线方程是y＝－1，设P(x，y)∵|PF|＝2∴点P到准线的距离为2，即y＋1＝2，得y＝1.[答案]　B4．(理)已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线[解析]　动点P(x，y)满足·＝x2，故(－2－x，y)·(3－x，y)＝x2，即y2＝x＋6.[答案]　D(文)若双曲线－＝1上点P到右焦点的距离是，那么点P到左焦点的距离是(　　)A. B．3C．2 D．2或3[解析]　设双曲线－＝1上的点P到左焦点的距离d，则|d－|＝2∴d＝3或－(舍去)．[答案]　B5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)A．有一条 B．有两条C．有无穷多条 D．不存在[解析]　显然，这样的直线存在斜率，设斜率为k，则过焦点的直线方程是y＝kx－k(k≠0)由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以＝5，即k＝±.[答案]　B6．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为(　　)A．1 B.或C. D．3或[解析]　当椭圆＋＝1的焦点在x轴上时，a＝，b＝，c＝由e＝，得＝，即m＝3当椭圆＋＝1的焦点在y轴上时，a＝，b＝，c＝由e＝，得＝，即m＝.[答案]　D7．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a＞b＞0)的曲线大致是(　　)[解析]　∵a＞b＞0∴椭圆a2x2＋b2y2＝1，即＋＝1，焦点在y轴上抛物线ax＋by2＝0，即y2＝－x，焦点在x轴的负半轴上．[答案]　D8．已知两个点M(－5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|－|PN|＝6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线是“B型直线”的是(　　)A．y＝x＋1 B．y＝xC．y＝－x D．y＝2x＋1[解析]　由|PM|－|PN|＝6＜|MN|可得点P是以M，N为焦点的双曲线－＝1的右支，换言之，点P是双曲线右支与直线的交点，即“B型直线”须满足与双曲线的右支相交．B、C选项表示的直线是渐近线，与双曲线无交点，D选项表示的直线的斜率大于渐近线的斜率，故与双曲线的右支无交点．[答案]　A二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)9．方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是_____________．[解析]　方程＋＝1表示椭圆，则⇒k＞3.[答案]　k＞310．设直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F和一个顶点B(如右图)，则这个椭圆的离心率e＝________.[解析]　B(0,1)，F(－2,0)故c＝2，b＝1，a＝＝，e＝＝.[答案]　11．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A与椭圆的焦点F1重合，且椭圆的另外一个焦点F2在BC边上，则△ABC的周长是________．[解析]　AB＋BC＋CA＝BF1＋(BF2＋CF2)＋CF1＝(BF1＋BF2)＋(CF2＋CF1)＝4a＝4.[答案]　412．过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程为________．[解析]　点P(－2，－4)是第三象限的点当抛物线的焦点在x轴的负半轴时，设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)∴16＝4p，p＝4，即抛物线的方程是y2＝－8x当抛物线的焦点在y轴的负半轴时，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)∴4＝8p，p＝，即抛物线的方程是x2＝－y.[答案]　y2＝－8x或x2＝－y13．椭圆x2＋4y2＝16的离心率等于________，与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是x＋y＝0的双曲线方程是________．[解析]　椭圆x2＋4y2＝16的标准方程是＋＝1，其中a＝4，b＝2，c＝2，e＝＝∵双曲线的一条渐近线方程是x＋y＝0，∴可设双曲线的方程为－＝1(λ＞0)∵椭圆焦点的坐标是(±2，0)∴双曲线的焦点坐标是(±2，0)∴λ＋＝12，λ＝9，即双曲线的方程是－＝1.[答案]　，－＝114．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则渐近线方程是________．[解析]　双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e＝＝ ＝ ∴1＋＝2⇒＝1∴双曲线－＝1的渐近线是y＝±x＝±x.[答案]　y＝±x三、解答题(共4小题，满分52分)15．(2008·辽宁)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．(1)写出C的方程；(2)若⊥，求k的值．[解]　(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，故曲线C的方程为x2＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－.∵⊥∴x1x2＋y1y2＝0.∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，∴x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.16．(本小题满分12分)已知抛物线C：y＝ax2(a为非零常数)的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为L.(1)求F的坐标；(2)当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？[解]　(1)抛物线方程为x2＝y，故焦点F的坐标为(0，)．(2)设P(x0，y0)则y0＝ax∵y′＝2ax，∴在P点处抛物线(二次函数)的切线的斜率k＝2ax0∴切线L的方程是：y－y0＝k(x－x0)，即2ax0x－y－ax＝0∴焦点F到切线L的距离d＝＝≥当且仅当x0＝0时上式取“＝”此时P的坐标是(0,0)∴当P在(0,0)处时，焦点F到切线L的距离最小．17．(2009·安徽高考题)(本小题满分14分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1与点P.求PF1线段垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．[解]　(1)e＝，∴＝，又b＝＝，∴a＝，b＝.(2)由(1)知F1，F2分别为(－1,0)，(1,0)，由题意可设P(1，t)，(t≠0)那么线段PF1中点为N(0，)，设M(x，y)是所求轨迹上的任意点，由＝(－x，－y)，＝(－2，－t)则，消t得y2＝－4x(x≠0)其轨迹为抛物线除原点的部分．18．(本小题满分14分)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M(1，)，N(－，)两点．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．[解]　(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)∵椭圆过M，N两点∴⇒，即椭圆方程为＋＝1.(2)设存在点P(x，y)满足题设条件，由＋＝1，得y2＝4(1－)∴|AP|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋4(1－)＝(x－a)2＋4－a2(|x|≤3)，当||≤3即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4－a2∴4－a2＝1⇒a＝±∉(0，]∴a＞3即＜a＜3，此时当x＝3时，|AP|2的最小值为(3－a)2∴(3－a)2＝1，即a＝2，此时点P的坐标是(3,0)故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是(3,0)．。