理论力学牛顿动力学方程.ppt

理论力学理论力学何国兴何国兴东华大学应用物理系东华大学应用物理系第一章第一章 牛顿动力学方程牛顿动力学方程§1.1 经典力学基础经典力学基础——《《原理原理》》 牛顿三大定律牛顿三大定律§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿第二定律矢量表达式牛顿第二定律矢量表达式 F = dP/dt = d(mv)/dt若若m 为常数，为常数， F = mdv /dt = ma1、、直角坐标系直角坐标系Fx = mdvx /dt = max Fy = mdvy /dt = may Fz = mdvz /dt = maz例题：假设例题：假设“和平和平”号宇宙空间站在接近地面摧号宇宙空间站在接近地面摧毁时，有一质量为毁时，有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速的碎片以水平方向的初速 vo 抛出，已知空气阻力与速度成正比，即抛出，已知空气阻力与速度成正比，即 f = - kv （（ k 为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程为常数），试求碎片的运动方程和轨迹方程解：解：牛顿第二定律：牛顿第二定律：mg + f = mg - kv = mdv/dt建立坐标系：建立坐标系：x 轴轴 —— vo 方向方向; y 轴轴 —— 垂直向下方向。

垂直向下方向初始条件：初始条件： t = 0，， xo = 0 ，， yo = 0 ，， zo = 0；； vxo = vo ，， vyo = 0 ，， vzo = 0;运动微分方程：运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dt运动微分方程：运动微分方程： - kvx = mdvx /dt mg - kvy = mdvy /dt 0 = mdvz /dtx方向：方向： dvx / vx = - (k/ m) dt → vx = vo e - kt/my方向：方向： - kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt → vy = (mg/k)(1- e - kt/m )z方向：方向： dvz = 0 → vz = vzo = 0 vx = vo e - kt/m vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) vz = 0vx = vo e - kt/m ，，vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) ，，vz = 0→ x - xo = ∫ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m )→ y - yo = ∫ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )→ z - zo = ∫ot 0 dt = 0运动方程运动方程: x = (mvo /g)( 1- e - kt/m ) y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m ) z = 0 → kt/m = - ln( 1-kx/mvo )轨迹方程轨迹方程: y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo z = 0§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式2、平面极坐标系、平面极坐标系 (r,φ) 与与直角坐标系关系直角坐标系关系:(1) (x , y) → (r ,φ)x = r cosφy = r sinφvx= vr cosφ-vφsin φvy= vr sinφ+ vφ cosφrvφoxyroφ§1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式2、平面极坐标系、平面极坐标系 (r,φ)(2) ( vx , vy ) → ( vr , vφ)(3) ( ax , ay ) → ( ar , aφ)作作 业业 已知球坐标系与直角坐标系关系已知球坐标系与直角坐标系关系: x = r sin  cos  y = r sin  sin  z = r cos   推导球坐标系（推导球坐标系（r，， ，，φ））中的中的 （（1）速度分量（）速度分量（ v r ，，v ，，vφ ）；）； （（2））加速度分量（加速度分量（ a r ，，a ，，aφ ）） 。

yxzq1q2q3e1e2e3o3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式 x = x(q1, q2 , q3 ), y = y(q1, q2 , q3 ), z = z(q1, q2 , q3 )例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式例：求柱坐标中质点的速度、加速度分量表达式 4 4、球坐标系（作业）、球坐标系（作业）CBLAOxyr rdωθ例：细杆例：细杆 OL 绕绕 O 点以匀角点以匀角速速ω转动，并推动小环转动，并推动小环 C 在在固定的钢丝固定的钢丝 AB 上滑动，上滑动，d 为为常数试求小环的速度及加常数试求小环的速度及加速度的量值速度的量值CBAOdωθC C1 1C C2 2rMAφφ φo oφ例：小船例：小船M 被水流冲走后，被水流冲走后，用一绳将它拉回岸用一绳将它拉回岸A边点假定水速假定水速 C1 沿河宽不变，沿河宽不变，而拉绳子的速度则为而拉绳子的速度则为 C2 如小船可以看成一个质点，如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹求小船的轨迹mgvPθyxo-b-aat t例：求质量为例：求质量为 m 小球无摩擦从长轴的端点静止小球无摩擦从长轴的端点静止滑动到椭圆的最低点时，它对椭圆的压力滑动到椭圆的最低点时，它对椭圆的压力 P。

5、自然坐标系、自然坐标系(自学自学)mgvPθyxo-b-aat tmgvPθyxo-b-aat t§1.2 动量定律动量定律一、质心一、质心 RC = ∑mi ri /∑mi = ∑mi ri /M质心定理：质心定理： MdvC /dt2 Md2RC /dt2 = F二、质点组运动的分解：二、质点组运动的分解：平动平动 + 转动转动 地面参照系地面参照系 质心参照系质心参照系 ri = RC + ri’§1.4 动量定律动量定律§1.5 克尼希定理克尼希定理。