反比例与相似.docx

19. （2014•湖北荆门，第17题3分）如图，点A是双曲线y」在第一象限的分支上的一 x个动点，连结4并延长交另一分支于点8,以4B为边作等边△4BC,点C在第四象限.随着点人的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=K （kVO）上运动，那么A x考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质; 特殊角的三角函数值.专题：动点型.分析： 连接0C,易证AO_LOC, OC=V^OA.由NAOC=90想到构造K型相似，过点A 作轴，垂足为瓦 过点作CFJ_y轴，垂足为凡 可证尸从而得到 0F=43AE,/CW^O..设点4坐标为（①那么"=2,可得/C•尸 =6.设点C坐标为G, y）» 从而有 FC*OF= - xy= - 6,即 k=xy= ~ 6.解答： 解：•・•双曲线）J关于原点对称， x・••点A与点B关于原点对称.：.OA=OB.连接C,如下图.:△ABC是等边三角形，8,，OC_LAB. ZBAC=60°.tan Z OA C=-^=V3- 0A・・・OC=V^A.过点人作AE_L），轴，垂足为E,过点nLy轴，垂足为F,V4E1OE, CF1OF, OC1OA,所以，当机=4时，ACMN面积取得最大值。

二.88. （（ 2014年河南）20.9分）如图，在直角梯形0ABe中，BCHAO, NAOC=90°,点A、B的坐标分别为（5,0）、（2,6）,点为A8上一点，且BD=2W.双曲线产& （x>0）经过点 x交BC于点E.（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形OO8E的面积解：（1）过点B、作x轴的的垂线，垂足分别为点M、N.•••4（5.0）、B （2, 6）,OM=BC=2,BM=OC=64M=3.•.* DN//BM, J AANDs △ABM..DN _ AN _ AD:・DN=2AN=1, ：.ON=4・・.点的坐标为（4,2）3分又:双曲线产&>0）经过点O, x.*2x4=8Q・•・双曲线的解析式为广25分x（2） •・•点2在4C上，.••点七的纵坐标为6.Q 又•・•点£在双曲线产一上， x44・ ••点E的坐标为,6),/.CE=-7分・ ** S 四边形 ODB 甲 S 检形 OABC -S^ocE -SfOD=—x(8C+O4)x一一 xOCxCE—— xOAxDN 222=-x（2+5）x6 —— x6x — —— x5x2 2232=12・ •・四边形ODBE的面积为129分考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得D点 坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（2）根据BE的长，可得B点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得B点横坐标，根据两点间的距离公式，可得答案.解答：解;（1）y= （x>0）的图象经过点A （1, 2）,・・・k=2.・・・AC〃y轴,AC=L，点C的坐标为（1,1）.•・（口/^轴，点口在函数图象上，，点D的坐标为（2, 1）.asA0CD4xixi4⑵••,be-Iao乙乙VBE1CD,，点B的横坐标是，纵坐标是..\CE=-1 - 11 33点评：此题考查了反比例函数k的几何意义，利用待定系数法求解析式，图象上的点满足函 数解析式.10. （2014•江苏徐州，第27题10分）如图,将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第 四象限，顶点A、B分别落在反比例函数产图象的两支上，且PBJLx于点C, PA_Ly于点 D, AB分别与x轴，y轴相交于点E、F.B （1, 3）.(1)(2)k= 3 ；试说明AE=BF：(3)当四边形ABCD的面枳为&时，求点P的坐标.4考点：反比例函数综合题.专题：综合题.分析： （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=3；（2）设A点坐标为（a,）,易得D点坐标为（0,）, P点坐标为（1,）, C点坐标为（1, 0）,根据图形与坐标的关系得到PB=3-, PC=-, PA=1 - a, PD=1,那么可计算出更=2三 】，PB PA 1-a加上/CPD=/BPA,根据相似的判定得到△PCDs^pba,那么/PCD=/PBA,「是判断CD〃BA,根据平行四边形的判定方法易得四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，所以BE=CD, AF=CD,那么 BE=AF,于是有 AE=BF：（3）利用四边形ABCD的面积=S»ab - Sapcd»和三角形面积公式得到・（3 - ） • （1 - a）-整理得2a2+3a=0,然后解方程求出a的值，再写出P点坐标.4解答： 解：（1）把B （1, 3）代入产得k=lx3=3；故答案为3；（2）反比例函数解析式为产，设A点坐标为（a,）,•・・PB_Lx于点C, PA_Ly于点D,• •・D点坐标为（0,）, P点坐标为（1,）, C点坐标为（1, 0）,・.PB=3 ・,PC=- , PA=1 - a, PD=1,_3：PC a 11PB 3 -1 _ a PA 1 _ aa,PC_PD• PB PA‘而 NCPD=NBPA,AAPCD^APBA,AZPCD=ZPBA,・・・CD〃BA,而 BC〃DE, AD〃FC,，四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，.\BE=CD, AF=CD,，BE=AF,，AF+EF=BE+EF,即 AE=BF：（3）•・•四边形ABCD的面积=Smab・SAPcd»:（3- ） • （1 -a） -•!•（-）乌，4整理得2a2+3a=0,解得apO （舍去），a2=-,・・・P点坐标为（1, -2）.点评： 此题考杳了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐 标和平行四边形的判定与性质：会利用三角形相似的知识证明角相等，从而证明直线平行.28. （2014•德州，第21题10分）如图，双曲线（Q0）经过△。

相的顶点A和0B的 X中点C, 48〃4轴，点A的坐标为（2, 3）.（1）确定女的值：（2）假设点D （3, m）在双曲线上，求直线4的解析式;（3）计算△Q4B的面积.考点：反比例函数综合题.专题：综合题.分析：⑴将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；（2）将坐标代入反比例解析式求出川的值，确定出坐标，设直线A解析式为 y=kx+b,将A与坐标代入求出攵与力的值，即可确定出直线AO解析式；（3）过点可，），轴，垂足为N,延长84,交y轴于点得到CN与8W平行, 进而确定出三角形OCN与三角形OBM相似，根据C为0B的中点,得到相似比为1 ： 2,确定出三角形OCN与三角形面积比为1： 4,利用反比例函数k的意义确定 出三角形CN与•三角形40M面积，根据相似三角形面积之比为1： 4,求出三角形 A0B面积即可.解答：解：（1）将点4 （2, 3）代入解析式产上，得：k=6； x（2）将力（3,"力代入反比例解析式y=@,得：m=§=2, x 3，点坐标为（3, 2）,设直线AD解析式为y=kx+b,将A （2, 3）与3, 2）代入得：（2k+b=3, 3k+b=2 解得：- 1» b=5,那么直线AO解析式为产r+5；（3）过点。

作CALL），轴，垂足为N,延长氏4,交），轴于点M,•・・/W〃x轴，轴，:,MB〃CN,:.XOCNsMOBM,•・・C为0B的中点，即空」, 0B 2SAQCN （工）2,SAOBM 2V4, C都在双曲线产@上， X：• $40（：产里八公尸3,l+l-~4,得至lJSxg=9, 3+SAaob 4那么△AOB面积为9.点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图 形性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数上的意义，熟练掌握待定系数法 是解此题的关键.A ZAEO=ZFOC, ZAOE=900- ZFOC=ZOCF./\AEO^AOFC.,AE EQ AO ''OF FC OC, ♦：oc=4^oa， ：・0F=4^AE, FC=^/3EO. 设点4坐标为(fl, b),・•点八在第一象限，,\AE=a, OE=B.• ・•点八在双曲线)，=2上， Xab=2.:・ FC«) Fff^ha=3ab=6 设点C坐标为(x, y), •・•点C在第四象限， :・FC=x, OF= - y.FC*OF=x* ( - y) = - xy =6./»xy= - 6.• ・•点c在双曲线产K上， xk=xy= - 6.点评： 此题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点 与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度.由NA0090。

联想到构造K型相似是解答此题的关键.22. （2014•丽水，第16题4分）如图，点E,尸在函数尸上6>0）的图象上，直线E尸X分别与X轴、），轴交于点A，B,且BE： BF=\； m.过点E作EP_Ly轴于P,△OEP的2面积为1，那么k值是2 , △房的面积是—生二_（用含〃?的式子表示）ID考点：反比例函数综合题.专题：综合题.分析：作ECL轴于C,五轴于" 根据反比例函数的比例系数的几何意义由aOEP的面积为1易得右2,那么反比例函数解析式为丁二，再证明x△BPEsABHF,利用相似比可得HF=mPE,根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E点坐标为（，，—）»那么r点的坐标为（〃明 之），由于S△诋4Sw/）=S=£c+S悌形 ttirECDF，SaofduSaoeL、，所以5^0£尸5椁形ECOF,然后根据梯形面积公式计算.解答：解：作ECJ_x轴于C,_Lx轴于切_Ly轴于从 如图，• ••△OEP的面积为1,・・・寺中1,而 k>0,：,k=2,••反比例函数解析式为尸2, x• ・・EP_Ly 轴，/77_Ly 轴，:.EP〃FH,:.△BPEsABHF,; PE=BE=j.> 即 HF=〃1PE, HF BF IT设七点坐标为（/, 2）,那么尸点的坐标为（加，上）, ttir,•* S^oef+Saofd=S^oec+S 极形 ecof，而 S4OF旷SdOEU、，Sao£/t=5 梯彬 eco产2（-^-+—）（ ttn - t）2 tir t=（A+l ） （m - 1）ITID点评：此题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数 的比例系数的几何意义；会利用相似比确定线段之间的关系.考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质分析：过点C作CELx轴于点E,过点。

作DFVx轴于点八 设3%，那么BD=x,分别表示出点C、点的坐标，代入函数解析式求出匕继而可建立方程，解 出x的值后即可得出A的值.解答：解：过点C作CE_Lx轴于点E,过点/LLx轴于点凡设3%,那么在知/XOCE 中，ZCOE=60°,那么£& CE=^^x, 22那么点C坐标为（Wr,驾）， 22在此△80尸中，BD=x, NQ5F=60那么DF=^x,22那么点的坐标为（5・』x,近x）, 22将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=^皂,4将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=^x -24那么吗&“退\。