纠错练习——数列1．(2020·山东卷)设是首项大于零的等比数列，则“a10，Sn为其前n项和，则Sn中的最大项是( )A．S10 B．S11 C．S20 D．S215．若数列{xn}满足：log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，x1＋x2＋x3＝32，则log(x4＋x5＋x6)的值为 ( )A．－8 B．8 C．－4 D．46．在等差数列中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列的前n项和，若Sn取得最大值，则n＝________.7．已知数列对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________.8．设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.9．(2020·北京宣武)如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________；＋＋＋…＋＝________.10．(2020·潍坊一模)已知数列的首项a1＝a，an＝an－1＋1，若bn＝an－2(n∈N*)(Ⅰ)问数列是否构成等比数列，并说明理由；(Ⅱ)若已知a1＝1，设数列的前n项和为Sn，求Sn.11．(2020·烟台一模)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列的前n项和Sn＝f(n)－1.(1)求数列的通项公式；(2)若bn＝loga an＋1，求数列的前n项和Tn.12．(2020·山东师大附中模拟)已知数列的前n项和为Sn，若a1＝3，点(Sn，Sn＋1)在直线y＝x＋n＋1(n∈N*)上．(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)若数列满足bn＝an·22n＋1，求数列的前n项和Tn；(Ⅲ)设Cn＝，求证：C1＋C2＋…＋Cn>.1解析：设数列的公比为q，因为a10，解得q>1，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，又∵a1>0，∴公比q>1，所以a10，∴d<0.∴a1>a2>…>a20>0>a21>…，∴S20最大．故选C.答案：C5解析：由log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)得log2＝1，＝2，∴{xn}是公比为2的等比数列∴x4＋x5＋x6＝(x1＋x2＋x3)×23＝28∴log(x4＋x5＋x6)＝log28＝－8.答案：A6解析：由3a4＝7a7，得a1＝－d，∴Sn＝n2－n，∵a1>0，∴d<0，∴Sn＝2－d，∴当n＝9时，Sn最大．答案：97解析：a36＝a1＋a35＝2a1＋a34＝…＝36a1＝4.答案：48解析：根据已知条件，可设函数f(x)＝ax＋1(a≠0)，因为f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，所以(4a＋1)2＝(a＋1)·(13a＋1)，解得a＝2，即f(x)＝2x＋1，所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝4(1＋2＋…＋n)＋n＝n(2n＋3)．答案：n(2n＋3)9解析：由图可知an＝3n－3(n≥2)，故a6＝3×6－3＝15.又因为＝9×＝＝－(n≥2)，所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案：15 10. 解：(Ⅰ)b1＝a1－2＝a－2，bn＋1＝an＋1－2＝an－1.若a≠2，由＝＝，得数列构成等比数列．若a＝2，b1＝0，数列不构成等比数列．(Ⅱ)由a1＝1，得bn＝－n－1.an＝2－n－1，anbn＝n－1－2n－1.Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(1－2)＋＋…＋＝－2＝－2×＝n－2－·n－1－.11解：(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2所以数列的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1 当n＝1时，a1＝S1＝1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1对n＝1时也适合∴an＝2n－1.(2)由a＝2，bn＝loga an＋1得bn＝n，所以anbn＝n·2n－1Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1①2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n②由①－②得：－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n所以Tn＝(n－1)2n＋1.12(1)证明：∵点(Sn，Sn＋1)在直线y＝x＋n＋1(n∈N*)上．∴Sn＋1＝Sn＋n＋1两边同除以n＋1，得－＝1又∵＝＝3，于是是以3为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)知，＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即Sn＝n2＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1经检验，当n＝1时，a1也成立，∴an＝2n＋1(n∈N*)于是bn＝an·22n＋1＝(2n＋1)·22n＋1∵Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝3·23＋5·25＋…＋(2n－1)·22n－1＋(2n＋1)·22n＋1∴4Tn＝3·25＋…＋(2n－3)·22n－1＋(2n－1)·22n＋1＋(2n＋1)·22n＋3两式相减得：Tn＝·22n＋3－.(3)证明：∵Cn＝＝＋－·n∴C1＋C2＋…＋Cn＝·＋·n－·＝－＋·n>－≥－＝.。
