高等数学函数的极值与最值第2节.ppt

ABCDyoxy = f (x)ab 函数的极值函数的极值1. 极值定义极值定义 设函数设函数 f(x) 在点在点 x0 的某邻域内有定的某邻域内有定义，且对该邻域内任意的义，且对该邻域内任意的 x 值值 (x x0)，，若恒有若恒有(1) f(x0)>f(x)，则称，则称 f(x) 在点在点 x0 取得取得极大值极大值 f(x0) ；；(2) f(x0)

ABCDyoxab例如例如,注注1：注注2：极值点有可能是导数不存在的点极值点有可能是导数不存在的点又如又如,（极小值）（极小值） xyO Ox0x0 是极大值点是极大值点f(x0) 是极大值是极大值f  (x0)=0f  (x)>0f  (x)<0xyO Ox0x0 是极小值点是极小值点f(x0) 是极小值是极小值f  (x0)=0f  (x)<0f  (x)>0极值第一充分条件：极值第一充分条件：设函数设函数 f(x) 在点在点 x0 的邻的邻域内可导，且域内可导，且 f  (x0)=0 或或 f  (x0) 不存在，不存在，当当 x 由小变大经过由小变大经过 x0 时：时：(1) f  (x) 符号由正变负，则符号由正变负，则 f(x) 在在 x0点处有点处有极大值极大值 f(x0)；；(2) f  (x) 符号由负变正，则符号由负变正，则 f(x) 在在 x0点处有点处有极小值极小值 f(x0 )；；(3) f  (x) 符号不变，则符号不变，则 f(x) 在在 x0 点无极值点无极值换言之换言之利用极值判定的第一充分条件，求可导利用极值判定的第一充分条件，求可导函数函数 y=f(x) 极值的步骤：极值的步骤：1. 确定函数确定函数 y=f(x) 的定义域；的定义域；2. 求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数 f  (x)；；3. 并求出全部驻点及导数不存在的点；并求出全部驻点及导数不存在的点；4. 考察考察 f  (x) 在每个点左、右邻近的符在每个点左、右邻近的符 号，从而确定此点是否是极值点；号，从而确定此点是否是极值点；5. 求出相应的极值求出相应的极值;例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值函数的定义域为函数的定义域为例例2 2解解函数的定义域为函数的定义域为 因此，遇到一阶导数不存在的点，或驻因此，遇到一阶导数不存在的点，或驻点的二阶导数为零，只能用极值判定的第一点的二阶导数为零，只能用极值判定的第一充分条件来判断。

充分条件来判断例4极小值点极小值点极大值点极大值点极小值点极小值点例4总结可得求函数极值的一般方法：总结可得求函数极值的一般方法：2、求出一阶导数等于零或不存在的点；、求出一阶导数等于零或不存在的点；3、用第一充分条件或第二充分条件来判、用第一充分条件或第二充分条件来判别这些点是否为极值点，是极大值点还别这些点是否为极值点，是极大值点还是极小值点是极小值点;4、求出极大值点和极小值点的函数值，、求出极大值点和极小值点的函数值，即得函数的极大值和极小值即得函数的极大值和极小值1、确定函数、确定函数 y=f(x) 的定义域；的定义域； 综合可得判断函数单调区间及极值综合可得判断函数单调区间及极值的一般步骤：的一般步骤：1、确定函数的定义域；、确定函数的定义域；2、求出定义域中一阶导数等于零及一阶、求出定义域中一阶导数等于零及一阶导数不存在的点导数不存在的点; 以这些特殊点为端点，以这些特殊点为端点，把定义域划分为若干个互不重叠的开区把定义域划分为若干个互不重叠的开区间间.4、按讨论结果、按讨论结果, 写写出函数的单调区间；出函数的单调区间；并求出函数的极大值和极小值并求出函数的极大值和极小值.3、利用一阶导数的符号，判断函数的单、利用一阶导数的符号，判断函数的单调性调性; 利用第一充分条件或第二充分条利用第一充分条件或第二充分条件来判别上述特殊点（驻点或一阶导数件来判别上述特殊点（驻点或一阶导数不存在的点）是否为极值点，是极大值不存在的点）是否为极值点，是极大值点还是极小值点；点还是极小值点；四、最值问题四、最值问题 在很多学科领域与实际问题中，在很多学科领域与实际问题中， 经常遇到在一定条件下经常遇到在一定条件下如何用料最省、成本最低、时间最短、效益最高等问题，如何用料最省、成本最低、时间最短、效益最高等问题， 这类问题我们称为这类问题我们称为最优化问题最优化问题. 在数学上，它们常归结为在数学上，它们常归结为求某一个函数（称为求某一个函数（称为目标函数目标函数）在某个范围内的最大值、）在某个范围内的最大值、最小值问题（简称为最小值问题（简称为最值问题最值问题）．）． 我们来看一下下面的几幅图：我们来看一下下面的几幅图：（（1）） 求出函数求出函数 f(x) 在在 [a,b] 上的所上的所有驻点及一阶导数不存在的点处的函有驻点及一阶导数不存在的点处的函数值；数值；（（2）求出区间端点的函数值）求出区间端点的函数值 f(a) 和和 f(b)；；（（3）以上函数值中最大的就是最大）以上函数值中最大的就是最大值，最小的就是最小值值，最小的就是最小值.求最值的方法：求最值的方法：例例5 5注意：注意：(1)、在闭区间上单调增加的连续函数，、在闭区间上单调增加的连续函数，最小值必在区间的左端点取得；最大值最小值必在区间的左端点取得；最大值必在区间的右端点取得必在区间的右端点取得. 如果函数是单调如果函数是单调减少的，则与此相反减少的，则与此相反.(2)、如果连续函数在闭区间内只有一个、如果连续函数在闭区间内只有一个极值，则它若是极大值便是最大值，若极值，则它若是极大值便是最大值，若是极小值便是最小值是极小值便是最小值. y = = f ( (x) )yo ab xx0 0 y = = f ( (x) ) yo ab xx0 0内容小结内容小结1. 连续函数的极值连续函数的极值(1) 极值可疑点极值可疑点 :使导数为使导数为0 或不存在的点或不存在的点(2) 第一充分条件第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别应用题可根据问题的实际意义判别 .2. 连续函数的最值连续函数的最值练练 习习 题题练习题答案练习题答案。