通信原理PPT电子课件教案第3章 随机信号分析.ppt

1第3章 随机信号分析§3.1 引言引言§3.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 §3.3 平稳随机过程平稳随机过程 §3.4 平稳过程的相关函数与功率谱密度平稳过程的相关函数与功率谱密度 §3.5 高斯过程高斯过程 §3.6 窄带随机过程窄带随机过程§3.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 §3.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 23.1 引言引言 信信号号的的变变化化可可表表现现为为任任一一物物理理量量的的变变化化，，通通信信系系统统中中一一般般感感兴兴趣趣的的是是电电量量的的变变化化，，如如随随时时间间变变化化的的电电流流、、电电压压对对于于各各种种各各样样的的信信号号，，可可按按不不同方法分类同方法分类 3.1 引言引言 确定信号：表征信号的所有参量都是确确定信号：表征信号的所有参量都是确定的，能写出明确的瞬间函数值，定的，能写出明确的瞬间函数值，33.1 引言引言 随机信号：随机信号：““随机随机””两个字的本义含有不可预两个字的本义含有不可预测意思，不能用单一时间函数表达。

随机信号是测意思，不能用单一时间函数表达随机信号是指一些不规则的信号指一些不规则的信号 随随机机信信号号：：或或称称随随机机过过程程，，采采用用统统计计数数学学方方法法，，用随机过程理论分析研究用随机过程理论分析研究 随随机机信信号号的的一一般般特特性性有有均均值值，，最最大大小小值值、、均均方方值，平均功率值及平均频谱值，平均功率值及平均频谱 43.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 确定性信号是时间的确定函数，随机信确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数号是时间的不确定函数 通信中干扰是随机信号，通信中的有用通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号信号也是随机信号 描述随机信号的数学工具是随机过程，描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数念推广到时间函数53.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 随机过程的数学定义：随机过程的数学定义： 设随机试验设随机试验E E的可能结果为的可能结果为ξ(t)ξ(t)，试验的样本空间，试验的样本空间S S为为{x{x1 1(t), x(t), x2 2(t)(t)，， ……, x, xn n(t),(t),……} }，， x xi i(t)(t)是第是第i i次试验的次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作出现的结果的总体就构成一随机过程，记作ξ(t)ξ(t)。

两层含义：两层含义： 随机过程随机过程ξ(t)ξ(t)在任一时刻都是随机变量；在任一时刻都是随机变量； 随机过程随机过程ξ(t)ξ(t)是大量样本函数的集合是大量样本函数的集合63.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达随机过程举例：随机过程举例：73.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 随机过程基本特征：随机过程基本特征： 其一，它是一个时间函数；其一，它是一个时间函数； 其二，在固定的某一观察时刻其二，在固定的某一观察时刻t t1 1，，ξ(tξ(t1 1) )是随是随机变量 随机过程具有随机变量和时间函数的特点随机过程具有随机变量和时间函数的特点 随机过程随机过程ξ(t)ξ(t)在任一时刻都是随机变量；在任一时刻都是随机变量； 随机过程随机过程ξ(t)ξ(t)是大量样本函数的集合是大量样本函数的集合 83.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 随机过程的统计描述：随机过程的统计描述： 设设ξ(t)ξ(t)表示随机过程，在任意给定的时刻表示随机过程，在任意给定的时刻t t1 1∈T∈T，， ξ(tξ(t1 1) )是一个一维随机变量。

是一个一维随机变量 一维分布函数：随机变量一维分布函数：随机变量ξ(tξ(t1 1) )小于或等于某小于或等于某一数值一数值x x1 1的概率，即的概率，即 F F1 1(x(x1 1,t,t1 1)=P)=P［［ξ(tξ(t1 1)≤x)≤x1 1］］ 一维概率密度函数一维概率密度函数93.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 n n维分布函数：维分布函数： F Fn n(x(x1 1,x,x2 2, ,……,x,xn n; t; t1 1,t,t2 2, ,……,t,tn n)=)= P P｛｛ξ(tξ(t1 1)≤x1,ξ(t)≤x1,ξ(t2 2)≤x)≤x2 2, ,……, ξ(t, ξ(tn n)≤x)≤xn n｝｝ n n维概率密度函数维概率密度函数103.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 随机过程的一维数字特征：随机过程的一维数字特征： 数学期望数学期望 方差方差113.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 随机过程的二维数字特征随机过程的二维数字特征 自协方差函数自协方差函数 B(t B(t1 1,t,t2 2)=E)=E｛［｛［ξ(tξ(t1 1)-a(t)-a(t1 1) )］［］［ξ(tξ(t2 2)-)-a(ta(t2 2) )］｝］｝ 自相关函数自相关函数 R(tR(t1 1,t,t2 2)=E)=E｛｛ξ(tξ(t1 1)ξ(t)ξ(t2 2) )｝｝ 设设ξ(t)ξ(t)和和η(t)η(t)分别表示两个随机过程，互相分别表示两个随机过程，互相关函数关函数 R Rξηξη(t(t1 1, t, t2 2)=E)=E［［ξ(tξ(t1 1)η(t)η(t2 2)])]123. 3 平稳随机过程平稳随机过程 统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。

机过程 设随机过程设随机过程ξ(t),ξ(t),若对于任意若对于任意n n和任意选定和任意选定t t1 1＜＜t t2 2＜＜……＜＜t tn n, t, tk k∈T∈T，，k=1, 2, k=1, 2, ……, n, n，以及，以及ττ为任意值，且为任意值，且x x1 1, x, x2 2, , ……, x, xn n∈R∈R，有，有 f fn n(x(x1 1, x, x2 2, , ……, x, xn n; t; t1 1, t, t2 2, , ……, t, tn n) ) =f =fn n(x(x1 1, x, x2 2, , ……, x, xn n; t; t1 1+τ , t+τ , t2 2+τ , +τ , ……, t, tn n+τ )+τ ) 则称则称ξ(t)ξ(t)是平稳随机过程是平稳随机过程133. 3 平稳随机过程平稳随机过程 平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。

数是不变的 推论：一维分布与时间推论：一维分布与时间t t无关，二维分布只与时无关，二维分布只与时间间隔间间隔ττ有关从而有有关从而有 R(t R(t1 1, t, t2 2)=E)=E［［ξ(tξ(t1 1)ξ(t)ξ(t1 1+τ)+τ)］］=R(t=R(t1 1, , t t1 1+τ)=R(τ)+τ)=R(τ)143. 3 平稳随机过程平稳随机过程 广义平稳随机过程广义平稳随机过程 平稳随机过程的定义对于一切平稳随机过程的定义对于一切n n都需成立，都需成立， 这这在实际应用上很复杂由平稳随机过程的均值是在实际应用上很复杂由平稳随机过程的均值是常数，自相关函数是常数，自相关函数是ττ的函数还可以引入另一种的函数还可以引入另一种平稳随机过程的定义：若随机过程平稳随机过程的定义：若随机过程ξ(t)ξ(t)的均值为的均值为常数，自相关函数仅是常数，自相关函数仅是ττ的函数，的函数， 则称它为宽平则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程稳随机过程或广义平稳随机过程153. 3 平稳随机过程平稳随机过程 各态历经性各态历经性 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为又非常有用的特性，称为““各态历经性各态历经性””。

若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代，则称平稳随机过程具有为时间平均）来替代，则称平稳随机过程具有““各态历经性各态历经性””163. 3 平稳随机过程平稳随机过程 各态历经随机过程各态历经随机过程173. 3 平稳随机过程平稳随机过程 ““各态历经各态历经””的含义：随机过程中的任一实现的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态因此，都经历了随机过程的所有可能状态因此， 我们我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使它的所有的数字特征，从而使““统计平均统计平均””化为化为““时间平均时间平均””，使实际测量和计算的问题大为简，使实际测量和计算的问题大为简化183.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱•自相关函数的意义：自相关函数的意义：–平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可可通过自相关函数来描述通过自相关函数来描述–自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。

因此，我们有必要了解平稳随机过程的联系因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质自相关函数的性质•自相关函数定义：自相关函数定义： R(τ)=E［［(ξ(t)ξ(t+τ)］］193.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱•自相关函数主要性质：自相关函数主要性质：–R(0)=E[ξ2(t)]=S --ξ(t)的平均功率的平均功率–R(τ)= R(-τ) --偶函数偶函数–|R(τ)|≤ R(0) --上界上界–R(∞)=E2[ξ(t)] --ξ(t)的直流功率的直流功率–R(0)-R(∞)=σ2 --ξ(t)的交流功率的交流功率203.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱 ξ(t)的任一样本函数的功率谱密度为的任一样本函数的功率谱密度为 式式中中，，FT(ω)是是fT(t)的的频频谱谱函函数数；；fT(t)是是f(t)的的短短截函数；截函数；f(t)是是ξ(t)的任一实现的任一实现213.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱 由由于于ξ(t)是是无无穷穷多多个个实实现现的的集集合合，，因因此此，，某某一一实实现现的的功功率率谱谱密密度度不不能能作作为为过过程程的的功功率率谱谱密密度度。

过过程程的的功功率率谱谱密密度度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即 ξ(t)的平均功率的平均功率S可表示成可表示成223.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱 由由ξ(t)功功率率谱谱密密度度的的定定义义，，很很难难直直接接计计算算功功率率谱谱确确知知信信号号的的自自相相关关函函数数与与其其功功率率谱谱密密度度是是傅傅氏氏变变换对对于平稳随机过程，也有类似的关系，即换对对于平稳随机过程，也有类似的关系，即233.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱 利用二重积分换元法，则上式可化简成：利用二重积分换元法，则上式可化简成：243.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱 于是于是 简记为简记为 R(τ)  Pξ(ω) 上称为维纳上称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具它是联系频域和应用中是一个非常重要的工具它是联系频域和时域的基本关系式和时域的基本关系式。

253.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱 例例2-1随随机机相相位位余余弦弦波波ξ(t)=Acos(ωct+θ)，，其其中中A和和ωc均均为为常常数数，，θ是是在在(0,2π)内内均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量求求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度的自相关函数与功率谱密度 解解：：(1) 先先考考察察ξ(t)是是否否广广义义平平稳稳ξ(t)的的数数学学期期望望为为263.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱 ξ(t)的自相关函数为：的自相关函数为： 令令t1=t, t2=t+τ, 经过推导得：经过推导得：273.4 平稳过程的相关函数与功率谱平稳过程的相关函数与功率谱 仅与仅与τ有关由此看出，有关由此看出， ξ(t)是宽平稳随机过程是宽平稳随机过程它的功率谱密度为：它的功率谱密度为： 因为因为cosωcτ π[δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)] 所以，所以，Pξ(ω)= [δ(ω- ωc)+δ(ω+ ωc)]283.5 高斯过程高斯过程 定义：若随机过程定义：若随机过程ξ(t)的任意的任意n维（维（n=1, 2, …））分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。

态过程 其其n维正态概率密度函数表示如下：维正态概率密度函数表示如下： fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) 293.5 高斯过程高斯过程 式式中中, ak=E{ξ(tk)}，，σ2k=E{[ξ(tk)-ak]2，，|B|为为归归一一化化协方差矩阵的行列式，即协方差矩阵的行列式，即301 b12 … b1nB21 1 … b2nBn1 bn2 … 1…………3.5 高斯过程高斯过程 |B|jk为行列式为行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子，的代数余因子，bjk为归一化协方差函数：为归一化协方差函数：313.5 高斯过程高斯过程 高斯过程的特点：高斯过程的特点：–高斯过程的高斯过程的n维分布完全由维分布完全由n个随机变量的数学期望、个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定因此，方差和两两之间的归一化协方差函数所决定因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了–如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的M维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。

维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的–如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则即对如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则即对所有所有j≠k，有，有bjk=0，于是，于是323.5 高斯过程高斯过程 fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)= =f(x1, t1)·f(x2, t2)…f(xn, tn) 这就是说，如果高斯过程中的随机变量是互不相关的，这就是说，如果高斯过程中的随机变量是互不相关的，则它们也是统计独立的则它们也是统计独立的333.5 高斯过程高斯过程 常用的是高斯过程的一维分布高斯过程在任常用的是高斯过程的一维分布高斯过程在任一时刻上的样值是一维高斯随机变量，其概率密一时刻上的样值是一维高斯随机变量，其概率密度函数可表示为度函数可表示为 概率密度函数的曲线为概率密度函数的曲线为343.5 高斯过程高斯过程 特点：特点： f(x)对称于对称于x=a这条直线这条直线 a表示分布中心，表示分布中心，σ表示集中程度，表示集中程度，f(x)图形将随图形将随着着σ的减小而变高和变窄。

当的减小而变高和变窄当a=0，，σ=1时，称时，称f(x)为标准正态分布的密度函数为标准正态分布的密度函数 正态分布函数正态分布函数353.5 高斯过程高斯过程 这里的这里的 称为正态概率积分称为正态概率积分 这个积分无法用闭合形式这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数：以下特殊函数： 363.5 高斯过程高斯过程 误差函数误差函数 互补误差函数互补误差函数 几种函数的关系为几种函数的关系为373.5 高斯过程高斯过程 高斯白噪声高斯白噪声 一类特殊的高斯过程一类特殊的高斯过程——高斯白噪声，高斯白噪声， 它的功率它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程 式中式中n0为一常数，单位是瓦为一常数，单位是瓦/赫显然，赫显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即383.5 高斯过程高斯过程 这说明，白噪声只有在这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。

意两个时刻上的随机变量都是互不相关的 如果白噪声被限制在如果白噪声被限制在(-f0,f0)之内，即在该频率区之内，即在该频率区上有上有Pξ(ω)= n0/2，而在该区间之外，而在该区间之外Pξ(ω)= 0，，则这则这样的白噪声被称为带限白噪声带限白噪声的自样的白噪声被称为带限白噪声带限白噪声的自相关函数为相关函数为39R(τ)= 3.6 窄带随机过程窄带随机过程 随随机机过过程程通通过过以以f fc c为为中中心心频频率率的的窄窄带带系系统统的的输输出出，，即即是是窄窄带带过过程程所所谓谓窄窄带带系系统统，，是是指指其其通通带带宽宽度度Δf<

包络和相位随机缓变的正弦波403.6 窄带随机过程窄带随机过程413.6 窄带随机过程窄带随机过程 因此，窄带随机过程因此，窄带随机过程ξ(t)可用下式表示可用下式表示: ξ(t)=aξ(t) cos［［ωct+φξ(t)］］, aξ(t)≥0 等价式为等价式为 ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct 其中其中ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t) ξs(t)=aξ(t) sinφξ(t) 式式中中, aξ(t)及及φξ(t)分分别别是是ξ(t)的的包包络络函函数数和和随随机机相相位位函函数数，，ξc(t)及及ξs(t)分别称为分别称为ξ(t)的同相分量和正交分量的同相分量和正交分量423.6 窄带随机过程窄带随机过程 由式看出，由式看出，ξ(t)的统计特性可由的统计特性可由aξ(t)，，φξ(t)或或ξc(t),ξs(t)的统计特性确定反之，如的统计特性确定反之，如果已知果已知ξ(t)的统计特性则可确定的统计特性则可确定aξ(t),φξ(t)以以及及ξc(t)，，ξs(t)的统计特性。

的统计特性433.6 窄带随机过程窄带随机过程 一个均值为零的窄带平稳高斯过程一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)，它的同，它的同相分量相分量ξc(t)和正交分量和正交分量ξs(t)也是平稳高斯过程，也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同此外，而且均值都为零，方差也相同此外， 在同一时在同一时刻上得到的刻上得到的ξc和和ξs是互不相关的或统计独立的是互不相关的或统计独立的 443.6 窄带随机过程窄带随机过程 一一个个均均值值为为零零，， 方方差差为为σ2ξ的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程ξ(t)，，其其包包络络aξ(t)的的一一维维分分布布是是瑞瑞利利分分布布，，相相位位φξ(t)的的一一维维分分布布是是均均匀匀分分布布，，并并且且就就一一维维分分布布而而言言，，aξ(t)与与φξ(t)是是统统计计独独立立的，即有下式成立：的，即有下式成立： f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ)453.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 信号经过信道传输总会受到加性噪声的影响信号经过信道传输总会受到加性噪声的影响。

本节讨论正弦信号与窄带高斯噪声之基本特性本节讨论正弦信号与窄带高斯噪声之基本特性 设正弦信号设正弦信号 窄带高斯噪声窄带高斯噪声 正弦波加窄带高斯过程：正弦波加窄带高斯过程： 463.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程473.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 式中：式中： 可以证明：可以证明： 正正弦弦波波加加窄窄带带高高斯斯过过程程的的包包络络的的概概率率密密度度函函数数为：为： 该该函函数数也也称称Rice（（莱莱斯斯））密密度度函函数数式式中中为为零零阶修正贝塞尔函数阶修正贝塞尔函数 483.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程49随机包络的概率密度曲线随机包络的概率密度曲线随机相位的概率密度曲线随机相位的概率密度曲线3.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 通信的目的在于传输信号，通信系统中的信号通信的目的在于传输信号，通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？这（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。

情况 随机信号通过线性系统的分析，完全是建随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的我们知道，线性系统的响应上的我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入等于输入信号信号vi(t)与系统的单位冲激响应与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即的卷积，即503.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 若若 vo(t)↔ Vo(ω), vi(t) ↔Vi(ω), h(t) ↔H(ω)，，则则有：有：Vo(ω)=H(ω)Vi(ω若线性系统是物理可实现的，则若线性系统是物理可实现的，则 vo(t)= 或或51vo(t)=vi(t)*h(t)= 3.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 如果把如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，看作是输入随机过程的一个样本，则则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本显然，可看作是输出随机过程的一个样本显然，输入过程输入过程ξi(t)的每个样本与输出过程的每个样本与输出过程ξo(t)的相应样的相应样本之间都满足下式本之间都满足下式 ξo(t)=523.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 假假定定输输入入ξi(t)是是平平稳稳随随机机过过程程，， 现现在在来来分分析析系系统统的的输输出出过过程程ξo(t)的的统统计计特特性性。

我我们们先先确确定定输输出出过过程程的的数数学学期期望望、、自自相相关关函函数数及及功功率率谱谱密密度度，，然然后讨论输出过程的概率分布问题后讨论输出过程的概率分布问题 1. 输出过程输出过程ξo(t)的数学期望的数学期望 根据前面的式，有根据前面的式，有533.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 再利用了平稳性假设再利用了平稳性假设E[ξi(t-τ)]=E[ξi(t)]=μi(常数常数)故上式为故上式为 因为因为 求得求得 所以所以 由此可见由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与数学期望与H(0)的乘积，且的乘积，且E[ξo(t)]与与t无关543.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统552. 输出过程输出过程ξo(t)的自相关函数的自相关函数 根据自相关函数的定义，则有根据自相关函数的定义，则有根据平稳性根据平稳性 3.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 可见可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔的自相关函数只依赖时间间隔τ而与而与时间起点时间起点t1无关。

由以上输出过程的数学期望和自无关由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的那么输出过程也是平稳的563.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 3. 输出过程输出过程ξo(t)的功率谱密度的功率谱密度 进行傅里叶变换进行傅里叶变换, 有有57则有则有3.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 4. 输出过程输出过程ξo(t)的概率分布的概率分布 从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，从原理上看，在已知输入过程分布的情况下， 总可以确定输出过程的分布其中一个十分有总可以确定输出过程的分布其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的的，则系统的输出过程也是高斯型的。