RLC电路与常微分方程的.ppt

第八章 RLC电路与常微分方程的解法 8.1 RC电路与常微分方程的欧拉解法RC电路: K 2 1 R C 先把开关K接通“1” 端,电容C充满电后再把开关K接通“2”端,则这时电容C放电过程满足方程: 即电容C上的电量是时间t的函数,满足以上微分方程.如果设: =RC, t=0时刻电容所带电量为Q0 则有:考虑数值微分问题:已知: 求f(x) 在xn 点的导数.可以:或:微分方程化为一般形式:把时间t等间隔离散化:其中:做如下近似: 由方程得:即即:记记:则得到解微分方程的欧拉法递推公式则得到解微分方程的欧拉法递推公式:对于对于RC电路电路:例如：例如：得到:方程的解析解:>> rc(1,6,1,10);欧拉法也可解释为欧拉法也可解释为Q(t)在在tn处的泰勒展开处的泰勒展开:取线性部分取线性部分:欧拉方法的截断误差欧拉方法的截断误差:例: 写出解如下一阶常微分方程的欧拉公式:得: 8.2 RLC电路和改进的欧拉近似法RLC 电路图: L R C Va K 根据基尔霍夫定律:由于:得:由于:所有:欧拉法:把二阶微分方程化成一阶微分方程组:其中t是自变量,Q和I随着t的改变而改变.function [Q,I,tt]=rlc(Q0,I0,con,T,dt)% RLC电路欧拉解法Q(1)=Q0;I(1)=I0;R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4);tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 Q(n+1)=Q(n)+dt*I(n); I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L;endplot(tt,Q,'r',tt,I,'b');>> rlc(1,0,[1,1,1,5],15,0.1);>> rlc(1,0,[1,5,1,5],50,0.1);2. 向后的欧拉方法方法分为两步:预估:(一步)校正:或者(k+1步)校正:function [Q,I,tt]=rlc1(Q0,I0,con,T,dt)% RLC电路向后欧拉解法Q(1)=Q0;I(1)=I0;R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4);tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 Q1=Q(n)+dt*I(n); I1=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L; Q(n+1)=Q(n)+dt*I1; I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I1-Q1/C)/L;endplot(tt,Q,'r--',tt,I,'b--');>> rlc1(1,0,[1,1,1,5],15,0.1);>> hold on>> rlc(1,0,[1,1,1,5],15,0.1);3. 改进的欧拉法方法分两步:预估:(一步)校正:或(k+1步)校正:function [Q,I,tt]=rlc2(Q0,I0,con,T,dt)% RLC电路改进欧拉解法Q(1)=Q0;I(1)=I0;R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4);tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 Q1=Q(n)+dt*I(n); I1=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L; Q(n+1)=Q(n)+dt*(I1+I(n))/2; I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*(I1+I(n))/2- … (Q1+Q(n))/2/C)/L;endplot(tt,Q,'r:',tt,I,'b:');RC电路:向后的欧拉法:预估:校正:改进的欧拉法:预估:校正:function [Q1,Q2,Q3,tt]=rc3(Q0,T,dt,tao)% RC电路欧拉解法电路欧拉解法Q1(1)=Q0;Q2(1)=Q0;Q3(1)=Q0;tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 Q1(n+1)=Q1(n)-dt*Q1(n)/tao;endfor n=1:length(tt)-1 Q=Q2(n)-dt*Q2(n)/tao; Q2(n+1)=Q2(n)-dt*Q/tao;endfor n=1:length(tt)-1 Q=Q3(n)-dt*Q3(n)/tao; Q3(n+1)=Q3(n)-dt*(Q+Q3(n))/2/tao;endQa=Q0*exp(-tt/tao);plot(tt,Qa,'b',tt,Q1,'r-',tt,Q2,'r--',tt,Q3,'r:');>> rc3(1,6,1,10)一般微分方程:向后的欧拉法:改进的欧拉法: 8.3 龙格-库塔(R-K)方法对于微分方程:根据微分中值定理:即: Q(t) tn tn+1 用tn处Q(t)的导数代替处导数 f(,Q()),则为欧拉法: 用tn+1处Q(t)的导数的估计值代替处导数 f(,Q()),则为向后的欧拉法:即: 用tn和tn+1处Q(t)的导数的估计值的平均代替处导数 f(,Q()),则为改进的欧拉法: 若取多点处斜率(即导数)的加权平均会使误差更小,称为龙格-库塔法最常用的四阶龙格-库塔法:例1: 求解方程:梯形法:四阶龙格-库塔法:有:function [y1,y2,xx]=rk1(y0,X,dx)% 矩形法和四阶龙格矩形法和四阶龙格--库塔法库塔法y1(1)=y0;y2(1)=y0;xx=0:dx:X;for n=1:length(xx)-1 y=y1(n)+dx*y1(n); y1(n+1)=y1(n)+dx*(y1(n)+y)/2;endfor n=1:length(xx)-1 k1=y2(n); k2=y2(n)+dx*k1/2; k3=y2(n)+dx*k2/2; k4=y2(n)+dx*k3; y2(n+1)=y2(n)+dx*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endy=exp(xx);plot(xx,y,'b',xx,y1,'r-',xx,y2,'r:');>> rk1(1,5,1);w例2：四阶的龙格-库塔公式w例3：四阶的龙格-库塔公式微分方程组:龙格-库塔公式:例4: 求解阻尼振动方程首先把它转化为一阶微分方程组:四阶龙格-库塔公式:function [x,v,tt]=rk2(m,k,c,x0,v0,T,dt)% 四阶龙格--库塔法x(1)=x0;v(1)=v0;tt=0:dt:T;for n=1:length(tt)-1 k1=v(n); l1=-(c*v(n)+k*x(n))/m; k2=v(n)+dt*l1/2; l2=-(c*(v(n)+dt*l1/2)+k*(x(n)+dt*k1/2))/m; k3=v(n)+dt*k2/2; l3=-(c*(v(n)+dt*l2/2)+k*(x(n)+dt*k2/2))/m; k4=v(n)+dt*k3; l4=-(c*(v(n)+dt*l3)+k*(x(n)+dt*k3))/m; x(n+1)=x(n)+dt*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; v(n+1)=v(n)+dt*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;endplot(tt,x);h=line('Color',[1 0 0], 'Marker','.','MarkerSize',20,'EraseMode','xor');for i=1:length(tt) set(h,'Xdata',tt(i),'Ydata',x(i)); pause(dt); end>> [x,v,tt]=rk2(10,10,2,10,0,50,0.02);>> h=line('Color',[1 0 0],'Marker','.','MarkerSize',30,'EraseMode','xor');for i=1:length(tt) set(h,'Xdata',x(i),'Ydata',0),axis([-10,10,-2,2]),grid on; pause(0.02); end。