度量空间的可分性与完备性.docx

1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R的可分性•同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数•现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，A,BX，如果B中任意点x.B的任何邻域O(x,、J内都含有A的点，则称A在B中稠密•若A二B，通常称A是B的稠密子集•注1:A在B中稠密并不意味着有AB.例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) -xB,｛冷｝二A，使得limd(xn,x)=0;(3) BA(其中A二AUA；A为A的闭包，A为A的导集(聚点集))；任取0，有BO(x,、J•即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合覆盖B•证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C二X，若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密.证明由定理1.1知B二A；c二B，而B是包含B的最小闭集，所以B二B二A，于是有CA，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得｛定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区间[a,b]上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.｝(1) 多项式函数集P[a,b]在连续函数空间C[a,b]中稠密.参考其它资料可知：(2) 连续函数空间C[a,b]在有界可测函数集B[a,b]中稠密.(3) 有界可测函数集B[a,b]在p次幕可积函数空间Lp[a,b]中稠密(1_p：：：；).利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4) 连续函数空间C[a,b]在p次幕可积函数空间Lp[a,b]中稠密(1乞p：：：；).因此有P[a,b]C[a,b]：-B[a,b]Lp[a,b].定义1.3.2设X是度量空间，AX，如果存在点列｛xn｝A，且｛xn｝在A中稠密，则称A是可分点集(或称可析点集)•当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.注3:X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1欧氏空间Rn是可分的.｛坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集.｝证明设Qn=｛(「"，川十)|「Q,i=1,2,|||,n｝为Rn中的有理数点集，显然Qn是可数集，下证Qn在Rn中稠密.对于Rn中任意一点x=(x,X2，||(,Xn)，寻找Qn中的点列｛「讣，其中R=(讥£川，｛)，使得rkTX(kT°o).由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数x(i=1,2，H|,n)，存在有理数列rkTX(kT°o).于是得到Qn中的点列｛rk｝，其中G=(｛,｛,川,「鳥,k=1,2川|.现证rk—x(k—').一；•0，由rk—•人(k—•■)知，KiN，当k•氏时，有|r-x,i=1,2」ll,nJn取K=max{K1,K2,|||,Kn}，当k>K时，对于i=1,2川|,n，都有|rk—x|£—［，因此Jnd(rk,x)v|J-x|2:::即rkx(kr•■)，从而知Qn在Rn中稠密.口｛具有有理系数的多项式的全体Po[a,b]在例1.3.2连续函数空间C[a,b]是可分的.由Weierstrass多项式逼近定理知，x(t)可-;0，存在(实系数)多项式p(t)，使得C[a,b]中稠密，而PO[a,b]是可列集.｝证明显然R[a,b]是可列集.Vx(t^C[a,b],表示成一致收敛的多项式的极限，即d(x,p)=max|x(t)-p；(t)|：：：a玉％2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式p0(tvP0[a,b]，使得zd(p；,P。

)=ma:x|p(t)-p°(t)k：-因此，d(x,p°)_d(x,p)d(p,p°)：：;,即p°(t)O(x,;)，在C[a,b]中任意点x(t)的任意邻域内必有PO[a,b]中的点，按照定义知P°[a,b]在C[a,b]中稠密.口例1.3.3p次幕可积函数空间Lp[a,b]是可分的.证明由于P[a,b]在C[a,b]中稠密，又知C[a,b]在Lp[a,b]中稠密，便可知可数集PO[a,b]在Lp[a,b]中稠密.口例1.3.4p次幕可和的数列空间lp是可分的.证明取E二｛(“2,111,^,0,111,0川|)|r-Q,nN｝，显然Eo等价于UQ"，可知E可数，n=t下面证Eo在lp中稠密.qQ-Xp^xJH'Xn」")•lp，有7|x|p：：：■二，因此一；0,NN，当n•N时，1oO』、TXi|pn出12又因Q在R中稠密，对每个x(1兰i兰N)，存在rEQ，使得p，(i=1,2,3，川，N)2N于是得令xo=(ri,r2,U|,rN,0,|l|,0,|}Eo，则Nd(xo,x)=('•|人i±--11(0.101)2==(101)10=(0.625)1048因此［0,1］与子集A=｛X=(X1,X2,l",Xn,l|l)Xn=0或1｝对等，由［0,1］不可数知A不可列.例1.3.6有界数列空间I：:是不可分的.i"=｛x=(为，X2,|)|,Xn,l)l)=(x)Ix为有界数列｝，对于x=(x),y=(y)e严，距离定义为d(x,y)=sup|x-yiI.i>证明考虑l：-中的子集A=｛x=(^,X2Jll,XnJ|!)Xn=0或1｝,则当x,yA,x=y时，有d(x,y)=1.因为［0,1］中每一个实数可用二进制表示，所以A与［0,1］一一对应，故A不可列.假设I：:可分，即存在一个可列稠密子集代，以人中每一点为心，以1为半径作开球，所有这样的开球覆盖r-，也覆盖A.因九可列，而A不可列，则必有某开球内含有A的不同的点，设x与y是这样的点，此开球中心为x0，于是T|PV|Xii|P)°i=N1因此Eo在|P中稠密.口例1.3.5设X珂0,1］，则离散度量空间(X,do)是不可分的.证明假设(X,d。

)是可分的，则必有可列子集｛xn｝X在X中稠密.又知X不是可列集,1所以存在x•X,x*•「｛«｝.取：=2，则有O(x,6)=fxdo(x,x)<一>=x1*x2即O(X*,Q中不含｛Xn｝中的点，与｛x.｝在X中稠密相矛盾•口思考题：离散度量空间(X,d)可分的充要条件为X是可列集.注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如(0.625)10=(0.101)20.6252=1.25取1;0.252=0.50取0;0.52=1.00取1.二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1n1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推•即(0和2川xn)2=(瓦斗x)io，例izt21121=d(x,y)jd(x,xo)d(xo,y)::33矛盾，因此I：:不可分.口1.3.2度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy列)必收敛.即基本列和收敛列在R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3基本列设｛Xn｝是度量空间X中的一个点列，若对任意；.0，存在N，当m,n•N时，有d(Xm,Xn)：：;则称｛Xn｝是X中的一个基本列(或Cauchy列).定理1.3.3(基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则(1) 如果点列｛Xn｝收敛，贝U｛Xn｝是基本列；(2) 如果点列｛Xn｝是基本列，则｛Xn｝有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点.证明(1)设｛Xn｝X,x・X，且人rx.则"；乜0,TN•N,当n•N时，d(Xn,x)：込,从而n,m.N时，ggd(Xn,Xm)_d(Xn,X)d(X,Xm22即得｛人｝是基本列.设｛xn｝为一基本列，则对；=1，存在N，当n•N时，有d(xN1,Xn)：：：；=1，记M=max｛d(x,X1),d(xX-10!dX旳),1｝,那么对任意的m,n，均有d(Xn,Xm)_d(Xn,Xn1)d(Xm,XN1)：：MM=2M,即｛Xn｝有界.设｛Xn｝为一基本列，且｛Xnk｝是｛Xn｝的收敛子列，Xnk》X(k—J于是，-；0,N1N,当m,n汕时，d(Xn,Xm);N2N，当kN2时，d(Xnk,x^：：-.取N=max{N「N2}，则当n•N,kN时，nk-kN，从而有&呂d(Xn,X)乞d(Xn,XnJdX-X)：22故XnrX(nr').口注4:上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗？例1.3.7设X=(0,1),~x,y・X，定义d(x,y)二x-y，那么度量空间(X,d)的点列X的收敛列.1{Xn}二—、是X的基本列，却不是n1证明对于任意的■:.0,存在N•N，使得N•丄，那么对于m=Na及n=Nb，其中a,b•N，有1_11a-b1-N+b+1N+a+1(N+a+1)(N+b+1)d(Xn,Xm)二Xn-Xmmax{a,b},._1：(Na1)(Nb1)：：NaNb=氏：宀1即得｛xJ是基本列•显然lim0.--X，故｛Xn｝不是X的收敛列.Tn+111n+1m+1或者利用｛X.｝=｛丄｝是R上的基本列，可知-；.0,N.二N,当n,m.N时有n+1•于是可知｛xn｝=丄也是X上的基本列•口In+1J如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间.定义1.3.4完备性如果度量空间X中的任何基本列都在X中收敛，则称X是完备的度量空间.例1.3.8n维欧氏空间Rn是完备的度量空间.证明由Rn中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R的完备性易得.口例1.3.9连续函数空间C[a,b]是完备的度量空间.(距离的定义：d(f,g)=max|f(t)-g(t)|)t€a,b]证明设｛Xn｝是C[a,b]中的基本列，即任给；O存在N，当m,nN时，d(Xm,Xn)：：：■:即mazf(t)「故对所有的t：二[a,b],Xm(t)-Xn(t)|•八，由一致收敛的Cauchy准则，知存在连续函数x(t)，使｛Xn(t)｝在[a,b]上一致收敛于x(t)，即d(Xm,x)—.0(n—•'),且xC[a,b].因此C[a,b]完备.口例1.3.10设X=C[0,1],f(t),g(t)^x，定义a(f,g)=j|f(t)—g(t)dt，那么(X,dJ不是完备的度量空间.(注意到例1.3.9结论(X,d)完备)证明设10乞t：：丄1fnT性2111t22n112nfn(t)・C[0,1]的图形如图1・3・1所示.显然fn(t)・C[0,1],n=1,2,3,HI.因为4(爲池)是下面右图1中的三角形面积，所以匸0,N,当m,n时，有1di(fm,fn)e—112；_m