数字信号处理第1-2章教学讲义.ppt

第一章 离散时间信号与系统 1.1离散时间信号序列1.2线性时不变系统1.3常系数线性差分方程1.4连续时间信号的抽样1.1离散时间信号序列一个离散时间信号是一个整数值变量n的函数，表示为x(n)或x(n)它既可以是实数也可以是复数尽管独立变量n不一定表示“时间”（例如，n可以表示温度或距离），但x(n)一般被认为是时间的函数图1-1离散时间信号x(n)的图形表示序列的运算序列的移位当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列; 当m为负时，x(n-m)是指依次超前（左移）m位图1-2显示了x(n)序列的延时序列w(n)=x(n-2), 即m=2时的情况图1-2图1-1序列x(n)的延时序列的翻褶图1-3序列的翻褶(a)x(n)序列；(b) x(-n)序列序列的和两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列和序列z(n)可表示为序列的乘积两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘乘积序列f(n)可表示为序列的标乘序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c标乘序列f(n)可表示为累加它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n)之和。

差分运算前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n)后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出x(n)=x(n-1)序列的时间尺度(比例)变换,其中m为正整数卷积和正如卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法对离散系统“卷积和”也是求离散线性移不变系统输出响应（零状态响应）的主要方法 （1） 翻褶：先在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)， 将h(m)以m=0的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)2）移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)当n为正整数时，右移n位;当n为负整数时，左移n位3）相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘4）相加：把以上所有对应点的乘积累加起来，即得y(n)值1.1.2几种常用序列1单位脉冲序列(n) 这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0，因此也称为单位采样“序列”单位采样序列如图1-4所示1-1)图1-4(n)序列这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)但是，在连续时间系统中，(t)是t=0点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号， 并非任何现实的信号。

而离散时间系统中的(n)，却完全是一个现实的序列，它的脉冲幅度是1，是一个有限值 2单位阶跃序列u(n)如图1-5所示它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t)1-2)图1-5u(n)序列(n)和u(n)间的关系为令n-m=k，代入此式可得(1-3)(1-4)(1-5)3矩形序列RN(n)(1-6)矩形序列RN(n)如图1-6所示图1-6RN(n)序列RN(n)和(n)、u(n)的关系为:(1-7)(1-8)4实指数序列式中，a为实数当|a|1时，序列是发散的a为负数时，序列是摆动的，如图1-7所示图1-7指数序列(a)|a|1;(c)a=-|a|0a1-1a05正弦型序列 x(n)=Asin(n0+)式中:A为幅度;为起始相位;0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率0=0.1时,x(n)序列如图1-8所示，该序列值每20个重复一次循环其中，0=2f0图1-8正弦序列(0=0.1)6复指数序列序列值为复数的序列称为复指数序列复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分复指数序列是最常用的一种复序列：(1-11a)或(1-11b)式中，0是复正弦的数字域频率对第一种表示，序列的实部、虚部分别为如果用极坐标表示，则因此有：1.1.3序列的周期性如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足(1-12)则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。

现在讨论上述正弦序列的周期性由于则若N0=2k,当k为正整数时，则这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2k/0（N，k必须为整数）可分几种情况讨论如下1）当2/0为正整数时，周期为2/0，见图1-82）当2/0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则式中，k,N为互素的整数，则为最小正整数，序列的周期为N3）当2/0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数这时，正弦序列不是周期性的这和连续信号是不一样的同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？设连续正弦信号xa(t)为这一信号的频率为f0，角频率0=2f0，信号的周期为T0=1/f0=2/0如果对连续周期信号xa(t)进行采样，其采样时间间隔为T，采样后信号以x(n)表示，则有如果令0为数字域频率，满足式中,fs是采样频率可以看出，0是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2，或说是连续正弦信号的角频率0对采样频率fs的相对频率。

用0代替0T，可得这就是我们上面讨论的正弦型序列下面我们来看2/0与T及T0的关系，从而讨论上面所述正弦型序列的周期性的条件意味着什么？这表明，若要2/0为整数，就表示连续正弦信号的周期T0应为采样时间间隔T的整数倍；若要2/0为有理数，就表示T0与T是互为互素的整数，且有(1-13)式中，k和N皆为正整数，从而有即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期离散信号的周期是每个周期的采样点数周期N总是整数对于组合信号，N是各周期的最小公倍数例：若F=0.32，那么x(n)=cos(2Fn)是否具有周期性？若F=呢？如果是周期的，那么它的周期N是多少？解：若F=0.32，因为F=0.32=32/100=8/25=k/N，所以x(n)具有周期性，它的周期N=25；若F=，因为F是一个无理数，不能表示为整数的比率，所以它不具有周期性1.1.4用单位采样序列来表示任意序列用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统（下面即将讨论）是很有用的设x(m)是一个序列值的集合，其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即(1-14)由于则因此，式（1-14）成立，这种表达式提供了一种信号分析工具。

1.1.5序列的能量序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和，即(1-15)例：计算信号x(n)=的能量，这是一个一侧衰减的指数函数，它的信号能量是：1.2离散时间系统时域分析一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算若以T来表示这种运算，则一个离散时间系统可由图1-2-1来表示，即离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”图1-2-1离散时间系统1.2.1线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成 如果系统在x(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)即:那么当且仅当上两式都成立时，该系统是线性的.和式中,a为任意常数上述第一个性质称为可加性，第二个称为齐次性或比例性这两个性质合在一起就成为叠加原理，写成式中对任意常数a1和a2都成立该式还可推广到多个输入的叠加，即式中,yk(n)就是系统对输入xk(n)的响应例1-1以下系统是否为线性系统： y(n)=2x(n)+3很容易证明这个系统不是线性的，因为此系统不满足叠加原理证很明显，在一般情况下所以此系统不满足叠加性，故不是线性系统。

同样可以证明，1.2.2时不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）这个性质可用以下关系表达：若输入x(n)的输出为y(n)， 则将输入序列移动任意位后， 其输出序列除了跟着移位外，数值应该保持不变，即若Tx(n)=y(n)则 Tx(n-m)=y(n-m)（m为任意整数）满足以上关系的系统就称为时不变系统例1-2证明不是时不变系统证由于二者不相等，故不是时不变系统同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（LTI）离散时间系统，简称LTI系统除非特殊说明，本书都是研究LTI系统习题:不具有线性但有时不变性.是线性的,但随时间变化.具有线性和时不变性.是非线性的,但具有时不变性.是线性的,但随时间变化.1.2.3单位脉冲响应与系统的输入输出关系线性时不变系统可用它的单位脉冲响应来表征单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出一般用h(n)表示单位脉冲响应，即h(n)=T(n)有了h(n)我们就可以得到此线性时不变系统对任意输入的输出下面讨论这个问题：设系统输入序列为x(n)，输出序列为y(n)从式（1-14）已经知道，任一序列x(n)可以写成(n)的移位加权和，即则系统的输出为由于系统是线性的，可利用叠加原理式（1-40），则又由于系统的时不变性，式（1-41）对移位的单位脉冲的响应就是单位脉冲响应的移位。

因此 如图1-2-2所示上式称为序列x(n)与h(n)的离散卷积，为了同以后的圆周卷积相区别，离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”，并以“*”表示之 图1-2-2线性时不变系统1.2.4线性时不变系统的性质1交换律由于卷积与两卷积序列的次序无关，即卷积服从交换律，故这就是说，如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入，而把输入x(n)改作为系统单位脉冲响应，则输出y(n)不变2结合律可以证明卷积运算服从结合律，即这就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关，如图1-18所示3分配律卷积也服从加法分配律：也就是说，两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和,如图1-19所示以上三个性质，交换律前面已经证明了，另外两个性质由卷积的定义可以很容易加以证明图1-2-3具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统图1-2-4线性时不变系统的并联组合及其等效系统1.3.5因果系统所谓因果系统，就是系统某时刻的输出y(n)只取决于此时刻，以及此时刻以前的输入，即x(n),x(n-1),x(n-2),。

如果系统的输出y(n)还取决于x(n+1),x(n+2),，也即系统的输出还取决于未来的输入，这样在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系统，也即不现实的系统根据上述定义，可以知道，y(n)=nx(n)的系统是一个因果系统，而y(n)=x(n+2)+ax(n)的系统是非因果系统从卷积公式，我们可以看到线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是 h(n)=0 n0(1-47)依照此定义，我们将n0，x(n)=0的序列称为因果序列，表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应证:充分条件若n0时h(n=0),则因而必要条件利用反证法来证明已知为因果系统，如果假设nn时的一个x(m)值有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立因而n0时，h(n)=0是必要条件我们知道，许多重要的网络，如频率特性为理想矩形的理想低通滤波器以及理想微分器等都是非因果的不可实现的系统但是数字信号处理往往是非实时的，即使是实时处理，也允许有很大延时这是对于某一个输出y(n)来说，已有大量的“未来”输入x(n+1),x(n+2),，记录在存储器中可以被调用，因而可以很接近于实现这些非因果系统1.2.6稳定系统稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。

如果对于输入序列x(n)，存在一个不变的正有限值M，对于所有n值满足|x(n)|M则称该输入序列是有界的稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值P，对于所有n值，输出序列y(n)满足 |y(n)|P一个线性时不变系统是稳定系统的充分必。