人教版初三(上)数学第63讲：一元二次方程的应用(教师版).docx

一元二次方程的应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、 了解有关一元二次方程的实际生活问题2、 掌握典型类型应用题的解法和解决应用题的步骤3、回归生活，让学生体验数学在生活中的妙趣解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 1、传播、循环问题与一元二次方程【例1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【解析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1＋x＋x（x＋1）=64，x=7或x=－9（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）64×7=448（人）．答：第三轮将又有448人被传染．【方法总结】传播问题应用公式a（1＋x）n=A，a表示传播之前的人数，x表示每轮每人传播的人数，n表示传播的天数或轮数，A表示最终的总人数．练1、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【解析】设有x个队，每个队都要赛（x－1）场，但两队之间只有一场比赛，x（x－1）÷2=21，解得x=7或－6（舍去）．故应邀请7个球队参加比赛．【答案】C【方法总结】当个体为x个，总数为n个时，单循环公式：=n，双循环公式：x（x－1）=n．练2、晨怡学校有4名学生参加黄冈市2012年12月15日语数英三科测评，另一兄弟学校有n名学生参加测这次测评，考试结束后，两校学生和双方各一名领队老师一起照了一张合影，然后每个学生又单独照了一张，按大家的要求，老师对摄影师说：“合影照要每人一张，学生之间还要相互交换相片，即每个学生除了自己的一张照片外，还要有其他每个学生的一张照片．”这样，摄影师共冲洗了112张相片，则n= 61、 ．【解析】由题意得（n＋4）（n＋4）=112－（n＋4＋2），解得n1=6，n2=－15（不合题意舍去）．【答案】62、数式问题与一元二次方程【例2】我们知道，32＋42=52，这是一个由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方的等式，是否还存在另一个“由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和等于第三个数的平方”的等式？试说出你的理由．【解析】假定存在这样的三个数，其中中间的数为n，则有（n－1）2＋n2=（n＋1）2，整理得n2－4n=0，∴n=0或n=4，又∵n≥2，∴n=4．∴除了32＋42=52外，不存在另一个这样的等式．【方法总结】有关数字的应用题，大致可以分为三类，及即一般数目关系问题、连续数问题、数字排列问题．①一般数目关系问题，数目关系比较简单，利用加、减、乘、除、和、差、积、商、倍数、余数、大、小、等于以及算律、算序等，就可以根据题目所给的条件列出方程．②连续数问题，有三种：连续整数、连续偶数、连续奇数，掌握它们的表示法是解决这类应用题的关键．③数字排列问题，例如：三位数=百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位数字．练3、三个连续自然数的平方和比它们的和的8倍还多2，则三个自然数的平方和为（　　）A．77 B．149 C．194 D．245【解析】设三个连续自然数且中间一个为x，所以另两个分别为x－1，x＋1．则三个连续自然数的平方和为（x－1）2＋x2＋（x＋1）2=3x2＋2，三个连续自然数的和为x－1＋x＋x＋1=3x，则3x2＋2=24x＋2，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=8．∴3x2＋2=194．【答案】C 练4、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（　　）A．25 B．36 C．25或36 D．－25或－36【解析】设这个两位数的个位数字为x，那么十位数字应该是x－3，由题意得10（x－3）＋x=x2，解得x1=5，x2=6，那么这个两位数就应该是25或36．【答案】C3、增长率问题与一元二次方程【例3】（2014•江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2．6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元．（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7．146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．【解析】（1）2．6（1＋x）2；（2）由题意，得4＋2.6（1＋x）2=7．146，解得x1=0．1，x2=－2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．【方法总结】在增长率问题中，要理解a（1＋x）n=b（其中a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b是增长到的量）的含义．原来的量经过一次增长后达到a（1＋x）；在这个基础上，再增长一次即经过第二次增长后达到a（1＋x）（1＋x）= a（1＋x）2；在这个基础上，再增长一次即经过第三次增长后达到a（1＋x）（1＋x）（1＋x）= a（1＋x）3；…；依次类推．解增长率问题公式：a（1±x）n=b．练5、（2014•湖北宜昌）在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．（1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）．①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2．5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．【解析】（1）由题意，得2013年全校学生人数为1000×（1＋10%）=1100人，∴2014年全校学生人数为1100＋100=1200人；（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x＋1）本，由题意，得1100（x＋1）=1000x＋1700，解得x=6．答：2012年全校学生人均阅读量为6本；②由题意，得2012年读书社的人均读书量为2．5×6=15本，2014年读书社人均读书量为15（1＋a）2本，2014年全校学生的读书量为6（1＋a）本，80×15（1＋a）2=1200×6（1＋a）×25%，2（1＋a）2=3（1＋a），∴a1=－1（舍去），a2=0．5．答：a的值为0．5．4、利润问题与一元二次方程【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．（1）填表：（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【解析】（1）80－x，200＋10x，800－200－（200＋10x）；（2）根据题意，得80×200＋（80－x）（200＋10x）＋40[800－200－（200＋10x）]－50×800=9000，整理，得x2－20x＋100=0，解这个方程，得x1=x2=10．当x=10时，80－x=70>50．答：第二个月的单价应是10元．【方法总结】有关利润问题常用的关系式有：利润=售价－成本，利润=成本×利润率，利润率=（售价一成本）÷成本，售价=成本×（1＋利润率）．练6、（2014•江苏徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．（1）求a的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？【解析】根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得20＋（80－a）=35，即a2－80a ＋1500=0，解得a1=30，a2=50．由4月份用电45千瓦时，交电费20元，所以a≥45，∴a=50．（1）设月用电量为x千瓦时，交电费y元，则y=∵5月份交电费45元，∴5月份的用电量超过50千瓦时，∴20＋0.35（x－50）=45，解得x=100．答：a的值为50；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时．5、面积问题与一元二次方程【例5】为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）【解析】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30－2x）（20－x）=532．整理，得x2－35x＋34=0，解得，x1=1，x2=34．∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．【方法总结】几何图形一般从面积（或体积）相等方面找等量关系，有关的面积（或体积）公式：①面积公式：S长方形=ab， S正方形=a2，S圆=，S三角形=ah；②体积公式：V长方体=abh，V正方体=a3，V圆柱=，V圆锥=．求解不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关系，然后列出方程求解．练7、（2014•南京联合体一模）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x米，则a= （用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？【解析】（1）；（2）根据题意得，（50－2x）（60－3x）－x•=2430，解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）．答：中间通道的宽度为2米．6、几何问题与一元二次方程【例6】如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，CD⊥AD，。