1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案.doc

1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分30分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ） （A） （B） （C） （D）（2）函数的反函数是 （ C ） （A） （B） （C） （D）（3）极坐标方程表示 （ B ） （A）一条平行于x轴的直线 （B）一条垂直于x轴的直线 （C）一个圆 （D）一条抛物线（4）函数是 （ A ） （A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数 （C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数（5）给出20个数： （ B ）87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是 （A）1789 （B）1799 （C）1879 （D）1899（6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件（7）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有 （ A ） （A）D=E （B）D=F （C）E=F （D）D=E=F（8）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1 、G2 、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG中必有 （ A ）S G3 F D G1 G2 E （A）SG⊥△EFG所在平面（B）SD⊥△EFG所在平面（C）GF⊥△SEF所在平面（D）GD⊥△SEF所在平面（9）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是 （ D ）（A） （B） （C） （D） Y Y Y Y X O X O O X O X （10）当时，在下面关系式中正确的是 （ C ） （A） （B） （C） （D）二．（本题满分24分）（1）求方程的解答：（注：仅写出其中一个解的，给2分）（2）已知的值答：0 .（3）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积答：（4）求答：（5）求展开式中的常数项答：-40（6）已知的值答：三．（本题满分10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC P C A O B 证：设圆O所在平面为α，由已知条件，PA⊥平面α，又BC在平面α内，因此PA⊥BC因为∠BCA是直角，因此BC⊥AC而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线，因此BC⊥△PAC所在平面，从而证得，△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直四．（本题满分12分） 当sin2x＞0,求不等式的解集解：满足sin2x＞0的x取值范围是 （1）而由得解得：-4＜x＜-3,5＜x＜7 (5)由（1）、（5）可知所求解集为五．（本题满分10分） Y A B α β O C X 如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值解：设点A的坐标为（0，)、点B的坐标为（0，b），0＜b＜，又设所求点C的坐标为（x,0)记显然，现在有记，那么，当时，y取得最小值2因此，当时，取得最大值因为在内是增函数，所以当时，∠ACB取最大值故所求点C的坐标为（0）六．（本题满分10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）且C中含有3个元素，（2）（表示空集）解：因为A、B各含12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B元素的个数是12+12-4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是，在上面集合中，还满足A∩C=的集合C的个数是因此，所求集合C的个数是-=1084（解二略）七．（本题满分12分）过点M（-1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2;L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数 L2 Y L1 P2 P M P1 F -1 O X 解：由已知条件可知，直线L1的方程是 y=k(x+1) ①把①代入抛物线方程y2=4x，整理后得到 ②因此，直线L1与该抛物线有两个交的充要条件是： ③及 ④解出③与④得到现设点P的坐标为，则直线L1的斜率而直线L2的斜率记则今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，由韦达定理及②得显然，1-k2在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数八．（本题满分12分）已知x1＞0,x1≠1，且试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1,或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1.证：首先，由于x1＞0，由数列{xn}的定义可知 xn＞0，（n=1,2,…）所以，xn+1-xn与1-xn2的符号相同（1）假定x1<1,我们用数学归纳法证明1-xn2＞0（)显然，n=1时，1-x12＞0设n=k时1-xk2＞0,那么当n=k+1时因此，对一切自然数n都有1-xn2＞0，从而对一切自然数n都有xn＜xn+1（2）若x1＞1,用理可证，一切自然数n都有xn＞xn+1.九．（附加题，本题满分10分）（1）求的导数（2）求过点（-1，0）并与曲线相切的直线方程解：（1）（2）而点（-1，0）在曲线上，所以所求的切线方程为y=x+1。