数学第七章 不等式 第43讲 不等式恒成立问题.ppt

第第43讲　不等式恒成立问题讲　不等式恒成立问题考试要求　1.不等式包含两个元的情况(C级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.1.设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2，2]上变化时y恒取正值，则实数x的取值范围为________.解析　设f(t)＝y＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，　 t∈[－2，2]，诊 断断 自自 测对一切实数x恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)，即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0对一切实数x恒成立.则Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0， 解得1＜m＜3，故实数m的取值范围是(1，3).答案　(1，3)∴g(x)min＝g(1)＝3＋a，∴ 3＋a＞0⇔ a＞－3.即所求实数a的取值范围为(－3，＋∞).∴ φ(x)max＝ φ(1)＝－3，∴ a＞－3，即所求实数a的取值范围为(－3，＋∞).答案　(－3，＋∞)1.恒成立问题转化成最值处理a＞f(x)对x∈D恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)对x∈D恒成立⇔ a＜f(x)min.知知 识 梳梳 理理2.恒成立问题处理方法：图象法、最值法、参变分离法、变换主元法等.3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立⇔_____________(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)Af(x)min2x＋a－1在a∈[－1，1]上恒成立.设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)是a的一次函数或常数函数，要使f(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立，则须满足故实数的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).考点二　一元二次不等式恒成立问题【例2】 已知x∈时，不等式1＋2x＋(a－a2)·4x＞0恒成立，求实数a的取值范围.考点三　高次不等式恒成立问题考点四　绝对值不等式恒成立问题解　(ⅰ)当x＝0时，显然f(x)＜0成立，此时a∈R.此时a的范围是(－1，3).综合(ⅰ)(ⅱ)得a的范围是(－1，3).规律方法　(1)当f(x)含有绝对值时，先去掉绝对值号，(2)这种思路是：首先是——分离变量，其次用——极端值原理.把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出.考点五　线性规划恒成立问题考点六　基本不等式恒成立问题【例6】 已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围是________.。