矩阵特征值计算.ppt

§1 §1 引引 言言第第8 8章章 矩阵特征值问题计算矩阵特征值问题计算物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临界值的确定它们都归结为下述数学问题§2 §2 幂法及反幂法幂法及反幂法一、一、幂法幂法幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ1及其对应的特征向量x1的方法特别适合于大型稀疏矩阵A=[1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2]u=[1,1,1]'v=A*u,v1=max(v),u=v/v1二、二、加速方法加速方法三、反幂三、反幂法法反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量反幂法计算公式反幂法计算公式:format long;A=[2 1 0;1 3 1;0 1 4],p=1.2679,B=A-p*eye(3);[L U P]=lu(B);L,U,P,v=U\[1 1 1]', mu=max(v);u=v/mu,v=U\(L\(P*u)), mu=max(v);u=v/mu,lamda=p+1/mu§3 Householder§3 Householder方法方法一、引言一、引言本节讨论两个问题:§4 QR§4 QR方法方法Rutishauser(1958)利用矩阵的三角分解提出计算矩阵特征值的LR算法，Francis(1961,1962)利用矩阵的QR分解建立计算矩阵特征值的QR方法.QR方法是一种变换方法，是计算一般(中小型)矩阵全部特征值问题的最有效方法之一.目前QR方法主要用来计算：（1）上海森伯格阵全部特征值问题；（2）对称三对角阵全部特征值问题.下面先介绍求非奇异矩阵的全部特征值的基本QR方法，再讨论上海森伯格阵和对称三对角阵的全部特征值问题.一、基本一、基本QR方法方法[Q R]=qr(A),A=R*Q,二二*、带原点位移的、带原点位移的QR方法方法三三*、用单步、用单步QR方法计算上海森伯格阵特征值方法计算上海森伯格阵特征值四四*、双步、双步QR方法方法(隐式隐式QR方法方法,略略)。