1998年全国硕士研究生考试数学（二）真题（含解析）.pdf

1998年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 1 页，共 9 页1998年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 2 页，共 9 页1998年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 3 页，共 9 页1998年数学（二）真题解析一、填空题(1)【答案】一+4【解】 由(1+工)“ =1 + ax + 无2 + 0(无2 )得/1 + 工=1 + 工-X 2 十 0 (工2 ) , J 工=1-JC-X 2 + 0 (工2 ),Z o L o于是丿1 + 无 + J工2 =-X 2 + O(J72 )-X 2 ,4 4故怙石*+厂-2r0（2）【答案】3712*丄7X 23由一工+ H 2 + 2jc【解】jc jc2 jc 2) = x (jc + 1)(工2),得曲线与jc轴的交点横坐标为工=1,h = 0,工=2.当一1工 0时，3/ +oln(e + t) 1 1lim- = lim -=o t o e + 得曲线y = zln（e+ 的斜渐近线为y = z +十.二、选择题（6）【答案】（D）.【解】 取工” =2n ,y = g , 工” 发散且limz”y” = 0,但$”收敛，排除（A）; n ”f 8=1 9XT1e 431998年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 4 页，共 9 页取乂” =兀口 +( 1),% = n_ ( 1),显然工”无界，且 = 0,但% 无界，排除(E)；”f 8取力” =T= X，&”有界且limz” =0,但% 不是无穷小，排除(C),应选(D). n + 1 -*(7)【答案】(C).【解】/(2)=(工+ 1)(工一2)|工|工+ 1|h 1|,由 lim = lim (工一2)|无| x 1 | j: + 1 | = 0,得 /(j?)在工=1 可导；Z1 工十1 工一1lim (于)-了(、= lim(j; + 1) (j? 2) | jc + 1 | | x 1 | = 21im L壬,0 JC x-*0 X x-*o JC/(0) = 2,/；(0) = 2,因为/(O) H /；(0),所以无=0为/(工)的不可导点；/(J7 ) /(I) . / |1、/ c、 I I I | 1 I I 工 一 1 I 41. |工一 1|lim -:- = hm(H + 1)(工一2) t | j: + 1 | - = 41im-,工-*1 x 1 X1 x 1 工-* 1 x 1亢(1) = 4,/；(1) = -4,因为/1(1) H 所以工=1为/(工)的不可导点；由 lim 了 O-7T = lim(H + 1) |工| & + 1| |工一1| = 18,得/(工)在工=2 可导，x-*2 X 2 X2故fG）有两个不可导点，应选（C）.（8）【答案】（A）.【解】由汁各+-得警右，或警-TTy = Q,-J-解得 y = Ce 宀 =Cearctan由j/（0）=兀得C =兀，于是y = 7te（9）【答案】（C）.严“2，故 y（l） = ire7，应选（A）.【解】 存在5 0,当工G （a5,a+5）时） W f （a）从而 -弓;）W 0,(J； a)2于是limt-a)心)(/ J7 )2/(a ) fG ) (a jc )2/(x) - /(a)(工一a )2N O(jrHa）,应选（C）.（10）【答案】(B).AhA21A”】BnB 21 BnlA 12A22 A”？B12E22瓦2【解】设A* =,(kA) * =.、A 1A2 AnnBlnB2n B nn因为Ba = knx A(i ,j=l,2,，rz)9 所以 CkA) * = knxA，应选（B）.三、解答题（11）【解】显然/（J：）的间断点为x =由f（ ） = （于+ 0）= +,得工=专为第二类间断点； 由lim/（j: ） = 1,得工=乎为可去间断点；由于（o） = o（乎+0）=+oo，得工=为第二类间断点;由 lim /(jt )=7n7tt=1,得7为可去间断点 44 1998年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 5 页，共 9 页（12）【解】由lim 处sinz0，得 limx-*01哙db t-1+z = 0,从而 b = 0b t, - ax sin x由 c = limx-*0b t. a cos xlim -o ln( 1 + j：3 )x=limx-*0a cos x zs ,，得 a = 1,6x 20 ,c1_(13)【解y =沖斗込COS X (/ + %) cosGy =-+ 2z/sin jc cos x + 2usm xcos3 JC代入并化简得u + 4% = e特征方程为A2 +4 = 0,特征根为右,2 = 2i, 则 u + 4u = 0 的通解为 = G cos 2jc + C2 sin 2x.2 = ln(2 + a/3-) 91显然u + 4u = e的特解为“0 =5则 u + 4u = ex 的通解为 zz = Ci cos 2x + C2 sin 2jc +5Ci cos 2x + C2 sin 2x + -eJ故原方程的通解为y = - (C ,C2为任意常数).且a=y 1,所以八收敛3 3- -2 2 1 1- -2 21J 工Z 2（14）【解】I =丄因为 lim (1 j： ) 2x-*l1_1_ 因为 lim (z 1) $ fi+.3_Ti1y/x2 X=y 0（0 V 工 V 1）/（0） = 0,由 得/（工）0（0 Vh V 1）,即【厂（工）0（0 V工V 1）当 OVh V 1 时,（l+jc）ln2（l+j?） 00 0 10001 1-210100 001-21-210 0=，故A=001-21-200001 ,012 1,得(21)【解】+ 丄3 3。

3 3+ 乂 2 2 a a 2 2令G5142701310102_ 1013-21()210_ 13 、2A =01-1b01-1b00a 1023a4 .、()-1a-2,000b_2.(I)当a为任意常数且b # 2时,“不能由a a1 1,a,a2 2,a,a3 3线性表示;(II)当 aHl,b = 2 时，由 A-*A-*得10 0_ r0 1 020 0 100 0 00 .方程组 J：! + JC2a 2 + j；33 = 0 有唯一解乂 =此时卩=(-2k - Da, +仏+ 2)2+2+也3(&为任意常数).1998年全国硕士研究生考试数学（二）真题第 9 页，共 9 页。