2019年全国中考数学真题汇编——《二次函数》压轴题（教师版）（附答案）.docx

2019年全国中考数学真题——《二次函数》压轴题1.（2019安徽）一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标为），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求的值；（2）过点（）且垂直于轴直线与二次函数的图像相交于两点，点为坐标原点，记，求关于的函数解析式，并求的最小值.解：（1）由题意得，得，一次函数解析式为： 又二次函数顶点横坐标为0，顶点坐标为把带入二次函数表达式得，解得（2）由（1）得二次函数解析式为，令，得，设两点的坐标分别为，则当时，取得最小值72.（2019北京）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上.（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点，.若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为；（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为直线，故对称轴为直线（3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.②当时，则.分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.3.（2019福建）已知抛物与轴只有一个公共点.（1）若公共点坐标为，求A、C满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线：与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线，垂足为点.当时，直线l与抛物线的一个交点在轴上，且为等腰直角三角形.①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数，都有A、D、C三点共线.解：（1）依题意，，，所以，因为，所以，即满足的关系式为．（2）①当时，直线为，它与轴的交点为．∵直线与轴平行，∴等腰直角的直角顶点只能是，且是抛物线的顶点．过作，垂足为，则，∴，故点坐标为，∴抛物线的解析式可改写为②设，则.由得，因为由抛物线的对称性，不妨设，则，，所以，设直线的解析式为，则有，解得所以直线的解析式为.因为即，所以点在直线上.故对于每个给定的实数，都有三点共线.4.（2019甘肃兰州）二次函数的图象交轴于,两点,交轴于点.动点从点出发,以每秒2个单位长度的速度沿方向运动,过点作轴交直线于点,交抛物线于点,连接.设运动的时间为秒.(1)求二次函数的表达式；(2)连接,当时,求的面积；(3)在直线上存在一点,当是以为直角的等腰直角三角形时,求此时点的坐标；(4)当时,在直线上存在一点,使得,求点的坐标.解：（1）将点，代入，得：解得：.所以，二次函数的表达方式为：.（2），.又，.设BC的解析式为：，将点，代入，得：所以，直线BC的解析式为：.将分别代入和中，得：，...（3）假设过点P作x轴的平行线，交y轴于点E，过点B作y轴的平行线，交EP的延长线于点F，设，，，，由题意得：，，，所以，点D的坐标为：.（4）当时，，此时M点在二次函数的对称轴上，以M点为圆心，AM为半径作圆，交MN于Q1、Q2两点.，，.点在该圆上.，，，（同弧所对圆周角），，或.5.（2019甘肃天水）如图,已知抛物线经过点、和,CD垂直于轴,交抛物线于点D,DE垂直于轴,垂足为E,直线l是该抛物线的对称轴,点F是抛物线的顶点.(1)求出该二次函数的表达式及点D的坐标；(2)若沿轴向右平移,使其直角边OC与对称轴l重合,再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合,得到,求此时与矩形OCDE重叠部分图形的面积；(3)若沿轴向右平移t个单位长度()得到,与重叠部分图形的面积记为S,求S与t之间的函数表达式,并写出自变量t的取值范围.解：(1)∵抛抛线经过点、和,∴抛物线的解析式为,∵点在抛物线上,∴,∴,∴抛物线的解析式为：,∵CD垂直于轴,,令,解得,或,∴点D的坐标为；(2)如图1所示,设A1F交CD于点G,O1F交CD于点H,图1∵点F是抛物线的顶点,∴,∴,∵,∴,∴,∴,解得,,∵与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG,∴；(3)①当时,如图2所示,设O2C2交OD于点M,图2∵,∴,∴,∴,∴,∴；②当时,如图3所示,设A2C2交OD于点M,O2C2交OD于点N,图3将点代入,得,,∴,将点,代入,得,,解得,,,∴直线A2C2的解析式为：,联立与,得,,解得,,∴两直线交点M坐标为,故点M到O2C2的距离为,∵,∴,∴,∴,∴,∴；∴S与t的函数关系式为：.6.（2019广东深圳）如图抛物线过点,点,且.(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点是对称轴上的两个动点,且,点在点的上方,求四边形的周长的最小值；(3)点为抛物线上一点,连接,当直线把四边形的面积分为两部分,求点的坐标. 解：（1）抛物线的解析式：，对称辅为：直线（2）如图：作关于对称轴的对称点，则取，又，则可证.要求四边形的周长最小值，只要求的最小值即可当三点共线时，有最小值为四边形的周长最小值为（3）令与轴交于点，直线把四边形的面积分为两部分又或直线的解析式：或由解析式和抛物线解析式联立解得：7.（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.（1）求点、、的坐标；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.①求出一个满足以上条件的点的横坐标；②直接回答这样的点共有几个？解：（1）令，解得或，故，，配方得，故；（2）∵，，∴，如图，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，即为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴四边形是平行四边形；（3）①设点的坐标为，(ⅰ)当点在点左侧时，因为与相似，则1)，即，∴(舍)，；2)，即，∴(舍)，；(ⅱ)当点在点右侧时，因为与相似，则3)，即，∴(舍)，(舍)；4)，即，∴(舍)，(舍)；(ⅲ)当点在之间时，∵与相似，则5)，即，∴(舍)，(舍)；6)，即，∴(舍)，；综上所述，点的横坐标为，，；②由①可得这样的点P共有3个。

8.（2019广西百色）已知抛物线和直线都经过点，点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点.(1)求m、b的值；(2)当是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)满足(2)的条件时，求的值.解：（1）将代入，得：，∴；将代入，得：，∴．（2）由（1）得：抛物线的解析式为，直线AB的解析式为．当时，，解得：，∴点A的坐标为，．设点P的坐标为，则，．∵是以为底边的等腰三角形，∴，即，整理，得：，解得：，，∴点P的坐标为或．（3）过点P作轴，垂足为点N，如图所示．当点P的坐标为时，，，∴；当点P的坐标为时，，，∴．∴满足（2）的条件时，的值的值为或．9.（2019广西贵港市）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点.(1)求抛物线的表达式；(2)写出点的坐标并求直线的表达式；(3)设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标.解：(1)函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；(2)、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；(3)设点、点，①当是平行四边形的一条边时，点向左平移个单位、向下平移个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即：，，解得：，，故点、的坐标分别为、；②当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，，解得：，，故点、的坐标分别为、；故点、的坐标分别为或、或．10.（2019广西北部湾经济区）如果抛物线的顶点在拋物线上，抛物线的顶点也在拋物线上时，那么我们称抛物线与“互为关联”的抛物线.如图1，已知抛物线与是“互为关联”的拋物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点.（1）直接写出，的坐标和抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点在抛物线上，点，分别是抛物线，上的动点，且点，的横坐标相同，记面积为（当点与点，重合时，的面积为（当点与点，重合时），令，观察图象，当时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值.解：（1）由抛物线可得，将，代入得，解得，，；（2）易得直线的解析式：，①若为直角顶点，，，，直线解析式为联立，解得，或，，；②若为直角顶点，，同理得解析式：，联立，解得，或，，；③若为直角顶点，设由得，即，解得或（不符合题意舍去），点的坐标或；（3），，设，，且，易求直线的解析式：，过作轴的平行线交于，则，设交于点，易知，，当时，的最大值为16.11.（2019广西桂林市）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使的周长最小.若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为S，求S关于t的函数表达式.备用图解：(1)抛物线与x轴交于点和∴交点式为∴抛物线的表示式为(2)在射线AD上存在一点H，使的周长最小.如图1，延长CA到C，使，连接BC，BC与AD交点即为满足条件的点H图1∵时，∴∴∴，直线AC解析式为∵射线AC绕点A顺时针旋转得射线AD∴∴∴直线AD解析式为∵，∴，AD垂直平分CC∴∴当C、H、B在同一直线上时，最小设直线BC解析式为∴ 解得：∴直线BC：∵ 解得：∴点H坐标为(3)∵∴抛物线顶点①当时，如图2，直线l与线段AQ相交于点F图2设直线AQ解析式为∴ 解得：∴直线AQ：。