胡不归问题模型.docx

胡不归问题模型及其应用原题重现；（来源：鬲邮市焚化学校独立故习（6 ） ）如图1所示r抛物城V=M2・2K・3与x轴交于A. B两点r过蹄亶境交抛物线于E r且匕n/EB A=4/3 ,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位抬的速度嗨域段BE上的点D& ,再以L25单位/e的 速度沿着DEIEIIE点处觅食r则蚂蚁从A到E的最短时间号 s .图】要想解决这个所谓傩即“，不潺不提起T蓄名的、大名眉耳的、古老的”胡不归.问题.一，模型典战（”胡不归”问题）,下文来簿于阿培有一则古老的历史故事：说的是一个身在他乡的,」啾子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回 家.然而，当他气国吁吁她来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了.人们告诉他.在弥留之际，老 人在不断嘀喃地叨念："胡不归？胡不归?……"早期的科学霰曾为这则古老传说中的小伙子设想了一条路线：如图1-1所示.A是出发地,踪 目的堆；AC是一条驿道r而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带为了恳切回家，小伙子选择了 直螭程AB.但是r他忽略了在驿道上行走要比在砂土迪带行走快的这一因素.如果他能选— 条合适的路战（尽管这条路她长一些.但是速度却可以UMS ）,是可以提前抵达家门的.B图1」那么，他应该选择那条路线呢？显然，根据两种路面的状况^在其上彳亍圭的速度值，可以在AC上选定一点D1小伙子从A走到。

然后从所往E r可望最早至越目的地B.用现代的数学港言表达出来就是：已知在驿道和砂地上行走的速度分别为VI和V2 ,在AC上找一定点D ,使从A至D、再从D至B 的行走时间最短.于是r问题在于如何去找出D点这个古老的“胡不归#问题风露了T多年，一直到十七世纪 中叶，才由法国著名科学家要尔马福开了它的面妙.二.模型解决第一步（设出时间t,将数学问超字母化）:设总时间为t,则t=与+半，这里匕〉匕， 匕 V]要求的就是I的最小值，这是一个系数不为1的最值问题，而且有两个系数均不为1J第二步（提取“大系熟”，化为只有一个系数不为1的最值问题》:一般情况下，遇 到两个系数不为1的最值问题，首先要将其转化为单个系数不为1的最值问题，这个转化 还是比较好实现的，只需提取一个系数出来即可3问题是，该提取哪个系数比较好呢？一般情况下，提取数值比较大的那个系数：京本 例来说，由匕〉匕知t的表达式中两个系数因而应该提取L出来，即1'匕匕匕+注意这里《与匕均为常数，这样要求t的最小值，只要求匕*1匕•d£>+D8的最小值即可，从而问题被转化为单个系数不为1的最值问题；匕第三步《构造三角函数，化为系械均为1的常娓最值问匙）：如何求解匕-4D+O8 匕的最小值问题呢？还是要想办法处理不为1的系数，将系数都化为1.但是问题来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！那咋办？数学是门神奇的科学，只有你想不到，没有她做不到的！联想到初中阶段学到的锐角三角函数，可以构造一个直角三角形，将不为1的系数无 形卬化为1,这也是解决所谓“胡不归〃问题的核心与难点所在，具体操作如下：由乜VI联想到三角的数值，如图1・2所示，过定点A在直线AC的下方构造锐角NV\V,CAE=a,使其满足史坦=二" j再过动点D作DG1AE于点G,则sina = ^- = ^^ ,从而有DG= ? • AD）F1F|要求生・/田+。

8的最小值问题，就械顺利转化为QG + D5的最小值问题，变成了一个系数均为1的常规最值问题;需要特别提醒大家的是，这里的关键角是依托于哪些考虑作出来的呢？注意到曷原始的"胡不归”问题星一个“两定一动型"总值问题，只不过系数不为1 了而已； 如图1-2，点A和点B是两个定点，点D是一个动点，且定点A与动点D在同一条定直线AC上; 上面的角a其实就是依托于这里的定点A及定直线AC做出的，即过定点A作一条射线与定直设 AC所交锐角为角a即可！说到底就是“抓不变量"的解题策略，依托于定点A及定直线AC作 角a ,使其满足sina =V2/V1,即可顺利将所谓“胡不归" ”难题”转化为系数均为1的虎规 曷值问题！第四步（利用“垂城段最短原理”，解我系的均为1的常知最值问题）：注意到构造 的AE也是一条定射线，要求G + D5的最小值问题，其实就是在两定直线AC、AE± 分别找点D、G,且DG1AE,使G + Q5最小.先利用“两点之间线段最短“易知QG + O5N5G ,当且仅当B、D、G三点共线时 取等号J如图1-3所示，再利用“垂线段最短”只需过点B作BG1AE于点、G,此时BG最小, 则BG与AC的交点即为所要寻找的点D;因而厂£€A lBG = l.^s1nZ^G '其申 小AB及NA4G均为常值，故所求时间的品小值为L “8・sin/A4G.匕至此，“胡不归”模型得到完更解决！如果奄奄一息的父亲能够坚持到:“Bfin/A4G这个时间，那么就能够见他的儿子最后一面了！三.原题解决回到我们最初的考魅上，设蚂蛇从点A到点E所需的时间为一如图1-4,则t=—+ —=JD + —,要求的就是t的最小值，即.4。

期的最小值j112555很明显，这就是一个典型的“胡不归”问题，可按照上述解决模型的步骤进行操作：图1-4第一步《构三角的教，化系数为1）：由系数gVI联想到三角函数值，如图1.5所示,4过定直线EB上的定点E在直线EB的上方构造锐角NBEF二a,使其满足或煦=（j4 DG4再过动点D作DG1EF于点.G,则sina=- =——，从而有DG=- DEji 5 DE5这样t=JD + —=AD^X,传化为了常规的系数均为1的最值问魅J 5策二步（寻颗目特殊性，重新调整图形》：但先不要忙于计算，我们还要敏锐地意识44到此题有个角很特殊，那就是tanNEBA=一，由此易知sinZEBA： 一，因而刚刚我们所作 35的NBEF=Z1EBA,从而发现此题的特殊性,即EF〃）（惟，按下来我们把图形调整成图1-6J图1・6第三步（利用“垂线号号屈原理“，解决系数均为1的常规达价问覆）:注意到构造 的EF也是一条定射线，要求AD+DG的最小值问麴，其实就是在两定直线EB、EF上分别找 点 D、G,且 DG1EF,使 AD+DG 最小.先利用“两点之间线段最短“易知4D + OG2.4G,当且仅当A、D、G三点共线时 取等号；如图1・7所示，再利用“垂线段最短“只需过点A作AG1EF于点G,此时AG最小， 则AG与EF的交点即为所要寻找的点Dj4DE因而t=JD + —=AD+DG^AG,故所求时间t的最小值即为AG的长，即点E的纵坐标的值，下面求出点E的坐标即可；第四步（求定点E的坐标）:这里提供两种方法求点E的坐标；方法一（求交点坐标）：设直线EB与y轴交于点如图1.8所示，由题易知点B4的坐标为（3, 0），在RtAMOB中由tan/EBA二一知”二4,则息H坐标为（0> 4）j3由B（3, 0）及K （0, 4）可得直线EB的解析式为y=-gx”jV=——X+4、4联立直线EB与抛物线的解析式得：r 3,即土2厂3 = -2x+4,即y = x2-2x-333寸-2『21=0,解之得玉=-白 毛=3 （舍去），故点E的坐标为（1，蔡）J方法二（设坐标法》：设点E的坐标为

然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了人们告诉他，在弥留之际, 老人还在不断喃喃的叨念：“胡不归？胡不归？……*早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线（见图D是出发地, a是目的地，月c是一条喊道,而骚道事目的地的一侧全是砂土地带为了急切回家，小伙 子选择了直线路程”…但是他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素如果他能选择一条合适 的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的那么这应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在H上面行走的速度值，可以 在4C上选定一点小伙子从乂走到折往心可望最早到达3~题代的科学语言表达就是：“已知在驿道和砂地上行走的速度分别为尸 1和P2,在 dC上求一个定点使得d-Df 5的行走时间最短,”于是问题在于如何去找出点•【建模】~起点4和终点3固定，在过乂点的定直线上取一点D,使得「空十竺的值最小，V1 v2可以转化为求4-^28 <0<-<1） ^-.DA-DB型的最值问题"mmmm【解模】，具体例子：如图，一条笔直的公路/穿过草原，公路边有一消防站距离公路5千米 的地方有一居民点历4 3的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前 往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/ 4时，则洎防车在出发后最快经过-J时可到达居民点8.〈友情提醍：消防车可从公路 的任意位置进入草地行驶.），解析:设消防车从公路上点D进入草地行驶。

问麴是蛔回户当+塔・々（〈Q4 +%） 8040 40 2的最小值，问题立即转化为求;以+% 的最小值…接下来就是“套路”：构造一条线段等于£以，并将新与线段接起来”，在 初中数学中我们学习过三个“一半”定理：而直角三角形中30锐角所对直角边等于斜边 一半（s加30・：）；②三角形中位线平行第三边且等王第三边长的一半；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半它日提解决线段假送系的利S我艮据s630来解决任务：在直线/的下■方作NC4.长30° ,过点作DEL4M于点则再往F来就太容易了，/问题博为求折线段D5.D“的最小值你会解决了吗？直接上图算了由〃垂线段最矩”的基本数学事实出发，可以过点5作时于点尸，交4C干点即为所求,止恒寸〜2由对贮角彩显然有NC8A>301进而△CB,可解 > 求出CD：和8充长后，就能求 出此题的最终答案了NCBD'=30CD'=【归纳】八胡不归问题模型的解题方案：，W1：将所求线段和f专换为（o<-

用模】,重点感受一下中考里面是如何考查“胡不归问题”的。