两个自由度系统的振动PPT课件..ppt

第5章 两个自由度系统的振动1第5章 两个自由度系统的振动第5章 两个自由度系统的振动2 单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常方程而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在相互“耦合”现象 所谓耦合，就是变量之间互相联系由于这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程“解耦”，然后按单自由度的分析方法求解 两自由度是多自由度系统最简单的情况第5章 两个自由度系统的振动3 建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难度更大5.2.1 运动微分方程（P104-106）5.2 两自由度系统的振动方程刚度矩阵和质量矩阵5.2 振动方程 标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：第5章 两个自由度系统的振动4坐标原点仍取在静平衡位置写成矩阵形式5.2 振动方程第5章 两个自由度系统的振动5式中：5.2 振动方程第5章 两个自由度系统的振动6 M称为系统的质量矩阵，K称为刚度矩阵，C称为阻尼矩阵，x为系统的位移列阵，F(t)为外激励列阵 对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。

由于矩阵M、 K、 C的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程5.2 振动方程第5章 两个自由度系统的振动75.2.2 刚度影响系数与刚度矩阵 刚度矩阵K中的元素称为刚度影响系数，其kij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在i坐标处施加的广义力 具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0 刚度影响系数反映了系统弹性元件的影响特性5.2 振动方程第5章 两个自由度系统的振动85.2.3 惯性影响系数与质量矩阵 质量矩阵M中的元素称为惯性（质量）影响系数，其mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力 具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0 惯性影响系数反映了系统质量元件的影响特性5.2 振动方程第5章 两个自由度系统的振动9 根据刚度影响系数和质量影响系数，可以写出下列关系：写成矩阵形式5.2 振动方程第5章 两个自由度系统的振动10 柔度影响系数Rij的力学意义是:在j坐标处作用单位广义力,引起i坐标处的广义位移由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R 由材料力学的位移互等定理可知RijRji，即柔度矩阵是对称的。

柔度影响系数反映了系统弹性元件的影响特性5.3 位移方程5.3 两自由度系统的位移方程柔度矩阵5.3.2 柔度影响系数与柔度矩阵(P114-117)第5章 两个自由度系统的振动11 对标准m-k-c振动系统，质量m1和m2上的总位移为这就是以柔度矩阵表示的位移形式的振动方程5.3 位移方程5.3.1 位移方程(P113-114)第5章 两个自由度系统的振动12 因为R为正定矩阵，于是位移方程又可写为与力形式的方程比较知 K=R1，R=K1 即对于正定系统R和K互为逆矩阵5.3 位移方程第5章 两个自由度系统的振动13 例：用影响系数法求标准m-k-c系统的刚度矩阵，质量矩阵和柔度矩阵5.2 振动方程第5章 两个自由度系统的振动14 【例5-3-1】求系统的振动微分方程已知梁的抗弯刚度为EI 解：用影响系数法由材料力学挠度公式 5.3 位移方程第5章 两个自由度系统的振动15则 而 则方程为 5.3 位移方程第5章 两个自由度系统的振动16若写为力方程形式 则方程为 下面用影响系数法直接求K:5.3 位移方程第5章 两个自由度系统的振动17 设x1=1,x2=0，则由材料力学公式有：同理有 求出各个刚度系数即组成刚度矩阵K。

作业：5-2，65.3 位移方程第5章 两个自由度系统的振动18 对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程拉格郎日方程为：用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动19 其中：T为系统的动能，V为势能，Qi为与广义位移xi对应的非有势力的广义力，drk为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移 实际计算广义力Qi时，通常假设与xi对应的广义虚位移dri不等于零，其它虚位移都等于零i1，2）拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动20 【例】用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系统微振动微分方程 解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动21静平衡位置：则：拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动22拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动23计算广义力，设m1产生虚位移dx1，而dx20，则 同样设m2产生虚位移dx2，而dx10，则 拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动24代入拉格朗日方程 得整理写成矩阵形式即可 拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动25 【T5-30】用拉格郎日方程建立系统微振动微分方程。

解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 x1x2D1D2而 则 拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动26所以 拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动27计算广义力，设只有x1处产生虚位移dx1，则 同样设x2处产生虚位移dx2，则 代入拉格朗日方程即可 用牛顿定律更简单一些 作业：T5-29拉格朗日方程x1x2第5章 两个自由度系统的振动28 只给出公式，不作严格推导1. 质量矩阵的形成 系统的动能可以表示为能量法用能量法确定振动系统的M、K、C第5章 两个自由度系统的振动29记则 M即为所求的质量矩阵，显然为对称阵2. 刚度矩阵的形成 势能可写为 K即为所求的刚度矩阵，也是对称阵能量法第5章 两个自由度系统的振动303. 阻尼矩阵的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为C即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵能量法第5章 两个自由度系统的振动31【例5-2-3】求M和K 解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 ll则 能量法第5章 两个自由度系统的振动32将余弦函数用级数展开，表示为则 所以 作业：5-4 能量法第5章 两个自由度系统的振动33无阻尼自由振动系统的运动方程为5.4.15.4.3 固有频率与固有振型(P117-120)5.4 两个自由度系统的自由振动5.4 两个自由度系统的自由振动假设方程解的形式为第5章 两个自由度系统的振动34 这里：X1、X2为振动幅值，w为固有频率，a 为初相位。

代入振动方程可得： 这是广义的特征值问题，K-w2M称为特征矩阵要使上式有解，必须使其系数行列式为零若M为对角阵，K为对称阵，则有5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动35 上式称为频率方程或特征方程由此可求出w2的两个正实根且规定w1 = w2 将这两个根代入广义特征值问题(Kw2M) X=0可得到相应的振幅比值 式中X(i)表示对应于第i个固有频率的振幅(i=1, 2)由数学概念知道，只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动36 和单自由度一样，由于固有频率和振幅比ui只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，这表明它们都是系统的固有属性因此把wi称为系统的固有频率或主频率，ui称为系统的固有振型或主振型 将振幅写成矩阵形式5.4 两个自由度系统的自由振动 称为振型向量或模态向量，组成的矩阵称为振型矩阵第5章 两个自由度系统的振动37 由解的形式可看出，系统两质量按相同的固有频率和相位角作简谐运动，这种运动称为固有振动或主振动 每一个主振动称为一个模态，wi和对应的ui组成第i 阶模态参数。

系统在主振动中，各质点同时达到平衡位置或最大位移，而在整个振动过程中，各质点位移的比值将始终保持不变，也就是说，在主振动中，系统振动的形式保持不变这就是振型的物理意义 5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动38【T5-21】求系统的频率方程 解：用能量法取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 则 5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动39将余弦函数表示为则 所以 5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动40频率方程为即 展开得 5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动41【T5-26】求系统的固有频率 解：用牛顿定律 而 x1x2d1d2d3解得 则方程为 5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动42频率方程为解得5.4 两个自由度系统的自由振动作业：T5-13，24第5章 两个自由度系统的振动43 式中的X1可以取任意值显然两个主振动的叠加也是方程的解，即5.4.4 系统对初始激励的响应(P121-128)由前面的分析可得到系统的两组特解为5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动44 式中的各个X、a和C均为任意常数，由初始条件确定。

或写为下面的形式5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动45将初始条件代入可得设初始条件为t0时5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动46 综上所述，系统对初始激励的响应求解步骤为：（1）建立运动微分方程，求出质量矩阵M和刚度矩阵K;（2）确定固有频率wi 和振幅比ui ;（3）利用初始条件求响应5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动47 【T5-35】质量为m2的物块从高h处自由落下，然后与弹簧质量系统一起做自由振动，已知m1m2m，k1k2k，h100 mg/k，求系统的振动响应 解:（1）用牛顿定律建立方程5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动48（2）频率方程为解得（3）求振型利用则同理5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动49（4）求响应初始条件代入得5.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动50解得响应为作业：T5-285.4 两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动51 在二阶振动微分方程中，如果质量矩阵M和刚度矩阵K的非对角线元素不为零，则在两个方程中都同时包含坐标x1和x2和它们的导数项，这种情形称为坐标耦合。

把M为对角阵，K不是对角阵的情形称为静力耦合或弹性耦合(刚性耦合)，把K为对角阵，M不是对角阵的情形称为动力耦合或惯性耦合5.5 广义坐标与坐标耦合5.5 广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动52 方程是否耦合与广义坐标的选取有关前面分析的标准m-k-c系统就是静力耦合 举例：分析下面的振动系统，设杆的质量为m，绕质心的转动惯量为JC5.5 广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动53 若取质心位移x和转角q为广义坐标，则自由振动方程是静力耦合的5.5 广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动54 若坐标x不取在质心,而是选在满足k1a1k2b2的O点位置，e为O点距质心的距离则这时运动方程是动力耦合的5.5 广义坐标与坐标耦合COea1b1)(11qaxk-第5章 两个自由度系统的振动55 同样，若将坐标x取在最左端A，则方程既是静力耦合又是动力耦合5.5 广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动56 从前面的分析可知，只要广义坐标形式选择合适，就可以得到没有坐标耦合的运动微分方程，这时的广义坐标称为主坐标5.6 主坐标5.6 主坐标 主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角线元素外,其余元素均为零,各个运动方程的坐标之间不存在耦合。

第5章 两个自由度系统的振动57其中u是前面得到的振型矩阵令 将x代入原振动方程，化简后就可得到解耦的运动方程（下章证明）5.6 主坐标第5章 两个自由度系统的振动58 显然上述解耦的方程的解可以用单自由度振动的方法独立求得 将其代入x。