优秀毕业论文毕业设计数学专业矩阵的若尔当标准形式的定义定理性质及应用.doc

矩阵的若尔当标准形式的定义、定理、性质及应用Jordan标准形及其应用摘要：关于矩阵的Jordan标准形最常见的求法是通过初等因子来求解，本文介绍了有关矩阵 Jordan标准形的基本概念，包括多项式矩阵、多项式矩阵的标准形、Jordan块、Jordan标准形, 同时介绍了 Jordan标准形的相关定理.还主要介绍了 Jordan标准形的三种求法：初等因子法、 计算的方法以及羸零矩阵的Jordan标准形的求法.关键词： 初等因子；Jordan块；Jordan标准形.The Jordan canonical form and its applicationAbstract: Finding the solution to the matrix Jordan canonical form through the elementary divisor is the most common. This article introduces several basic concepts about the matrix Jordan canonical form, including polynomial matrix, the canonical form of polynomial matrix,, Jordan block and the Jordan canonical form. In the meantime, it introduces the related theories of the Jordan canonical form. 3 methods of Jordan canonical form which still be mostly introduced： elementary divisor method, method of computing and method to the Jordan canonical form of nilpotent matrix.Keywords: Elementary divisor； Jordan block； Jordan canonical form0 0 ... 0 o1 2 0 ... 0 0定义1设人是一个复数，矩阵0 1 Z ... 0 0(1 )• • • • • • ••• ••• ••• • • •(000012,其中主对角上的元素都是4,紧邻主对角线卜•方的元素都是1,其余位置都是零，叫做属于 人的一个若尔当(或若尔当块).当；1=0时，就是所谓的慕零若尔当矩阵.定理1设b是〃维向量空间V的一个线性变换，4,4"・・・，人都是b的一•切互不相同的本征值，那么存在V的一个基，似的b关于这个基的矩阵有形状0、(2 )这里8产 7/2.. ，而都是属于儿的若尔当块，i = l,2,...,k..0 Jis证 设b的最小多项式是P（x） =（A-Al）H...U-A）r^而R＞）在复数域上是不可约的因式分解，这里是互不相同的本征值，g，・5 是正整数，乂设*=ker(b — &) I (b・E = O }, i = l,2,.M 所以空间―有直和分解对于每一 i,令弓是在*上的限制，那么弓是子空间匕的—•个幕零线性变换,而子空间*可以分解为们一循环子空间的直和：V, =W„㊉…㊉.在每一循环子空间=（/ = 1,2,..名）里，取一个循环基，凑成匕的一个基，那么弓关于这个基的矩阵有形状代 0、N户 ...0 N.\ 皿/这里N〃（/ —1,2, 是慕零若尔当块.令那么’=人+弓，于是对于的加上基来说，’的矩阵是Bi 二这里J Ji2JiSi都是属于4的若尔当块.对于每一•子空间匕，按以上方式选取一个基，凑起来成为v的基，那么b关于这个基 的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意 在矩阵（2）里，主对角上的第i块B,是D=bl*的矩阵.而子空间*，…，岭显然由b唯一确定，而出现在每一•里的若尔当块里由’唯一•确定的，因 • • I 9 f V | •而是由O■唯一确定.定义2形式如J2的〃阶矩阵，其中每一 J都是一个若尔当块，叫做i个若尔当标准形式.例如:00000000都是若尔当标准形式.定理2复数域上每一〃阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的 次序外，与A相似的若尔当标准形式是由A唯--确定的.证 在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔 当块唯一性得到证明.定理3 (1)设V为K上的〃维线性空间，线性变换7\ V V的特征多项式分解为K上的一次式的积.“(/) = (，—％)为…(，— ％)气化, %,…叫e K , %主。

・(i< 巳< 这里，V是弱特征空间V(q・)的直和x =o}, dimV(6//)=/?pr 在 V(《)上的限制 riv(^)的特征多项式和最小多项式为(，-％)", (t — d -)".(2 )设矩阵人E ( n , n , K )的特征多项式分解为K上一次式的 积 .det (tEn — A) = (t — aA...(f — ar)n,,= (t — a )V|...(/ — ar)Ur yax^...^ar g K ,6Z. aAi J ),1 < l>. < nr 这时， 存在正 则矩阵 P c(n,n,K)JJ］》=㊉…㊉ J )㊉ J (a. ,vi -1) …㊉ J (a., ui -1)V v / v /至少i个 o个以上 J(tz-,1) ... J(af ,1)\ /0个以上方阵/ (%)的结束等于弓，构成J (q)的若尔当的个数等于属于％•的特征空间多项式的维数 (1 < I < r).若尔当块矩阵Pi A P称为矩阵人的若尔当.注意 P}AP = J（a（/）…㊉J （a J中的，（《），其/阶若尔当块的个数乂 A唯一确定.例1 证明对人，B e （〃，〃，C）,存在正则矩阵P,使Pi A P = B <=> A和B 具有相等的若尔当标准型.证 设A和B具有相等的若尔当标准型/，则存在正则矩阵《，R,使A P{=J , p2~] B P? = J ,令P] P「= P,则P正则接pT A P = B.反之，设巳存在正则矩阵P,使 P- A P = B ,设Q-}AQ = J是若尔当标准型，则（FQ）TA（PQ） = /,故A的若尔当标 准型也是< 4 0 P< 13 - 20 35、例2求矩阵C =-1 5 1,D =-31 51 -84的若尔当标准型，求实矩阵<-1 0 句1—22 36 -60；Q使Q-DQ成为若尔当矩阵.解 (1) I tE. -C\=t3 - 15r2 +75r -125 = (r -5)3, rank(C-5EJ = 1,故特征空间V（5）的维数是3-rank（C-5E3）=2,于是机若尔当块的个数为2, C的若尔当标准型为(2)IfE3 -D1= r3 -4r2 -3r +18 = (r-3)2(r + 2).方程(。

2么)jv=O 的通解为Pi =「1)例如，令 u =1 ,得 Pi = 1 , dim= V (-2 ) =1 , ( D -3 E3 ) x =0,的通解是0i= 7vv<0、=v 7,所以属于特征值3的特征空间V （3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个.‘）(D2 4— + —0)例如，令v = l,得01= 7，方程（D-3*3）工二坊的通解是例如，令刃=10,得 02= 10 , D Pi = ・2 Pl, D q2 = 3 D q2 = q} +3^2.i% 若令 Q =(Pi qx %)，则 D Q = ( D p、 D q} D q2) = (-2 p{ 3 q} q} +3 q2 )"-2 、=Q 3 1I 3)<-1 01 >"-2 、所以二0 710，Q~lAQ =2 1<46>参考文献：[1 ]张禾瑞、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版.[2 ]有马哲、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.关于矩阵Jordan标准形的若干应用学生姓名：李英红指导教师：周芳摘要：矩阵在高等代数中占有举足轻重的作用.而且矩阵有很多形式,本文主要介绍Jordan 标准形的定义、姓质及其应用，例如:每个n级复数都与一个若尔当形矩阵相似、复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A的不变因子没有重根等，对于今后的高等代数的进一步 研究学习有很大的帮助.关键词：若当标准形；矩阵分解；线姓递推；哈密顿一凯莱定理引言在学习与代数相关的知识中，矩阵的学习是必须的，在高等代数中矩阵是研究问题很重要的 工具.在研究矩阵相似问题时，若尔当块、若尔当标准形的定义及简单性质比较容易给出,但对若 尔当标准形一些具有规律性的性质研究却很少,而正是这些性质使得若尔当标准形具有极其重要 的理论和应用价值.对于若尔当标准形的性质及其应用，大多都是从相似的角度提及.但在大量实际应用中不难 发现，将一般矩阵的问题化为若尔当标准形来讨论，可以使问题得到简化.为此,本文将围绕若尔当标准形的应用,从四个大方而:若尔当标准形在矩阵分解论中的应用、 若尔当标准形在解线性递推关系式中的应用、若尔当标准形在矩阵方程中的应用、以及用若尔当 标准形证明哈密顿一凯莱(Hamilton-Caylay)定理,来对若尔当标准形的应用进行-归纳总结.本文 以例题的形式给出了若尔当矩阵在这四个方而的应用,通过同常规解题方法的比较，不难得出，矩 阵的若尔当标准形对于我们求解某些矩阵的幕、行列式的值以及证明都是很有用的.总的来说，本 文从若尔当标准形的定义及简单性质出发，对若尔当标准形的应用做了系统的梳理.1.定义形式为的矩阵为若尔当(Jordan)块，见[1] [8] [9],其中人是复数.由若干个若尔当块组成的 准对角矩阵为若尔当形矩阵，其一般形式如A-1 4并且&, %, ......, %中有一些可以相等.特别地,•级若尔当块就是一•级矩阵，因此若尔当矩阵包括对角矩阵.在复数域范围内，对任意方阵A总存在可逆矩阵P ,使P~]AP =其中il .♦ •♦ •< 1妃为若尔当块(i = l,2,•••/).而...称为A的若尔当标准形.2.性质见[6]性质1 n级的复矩阵A的若尔当标准形除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的.性质2 〃级的复矩阵4的若尔当标准形主对角线上的元素正是A的特征多项式的全部的根，即A的全部特征值(重根按重数计算).性质3复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的若尔当标准形全由1级的若尔当块构成.性质4设AgC/,x\ /(x)gC[x],若佑,％,•••,&,为A的全部特征值，则/(A)的全部特征值为朋)即7(A) 。

p~lf(A)p=证明设乂 0、P~lAP= •.< 如为A的若尔当标准形，再设f(x) = amxm +・・・ + 伞 + %,f(A) = f/p0、...、PT。