不定积分分部积分法教案.docx

第三节分部积分法教学内容：分部积分法教学目的：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数，正确选取u,v ,熟练掌握分部积分法的步骤教学重点：分部积分法及其应用教学难点：在分部积分法中，恰当选取 u,v教学学时：1学时教学进程：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算.导数公式 不定积分公式；复合函数的求导公式 换元积分公式；乘积求导公式 分部积分公式（不同类型函数乘积的积分） 1引入用我们已经掌握的方法求不定积分 x cosxdx分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式②凑微法失效x cosx③第二类换元积分法解：不妨设 cosx t 贝U x arccost , 1 原万程 t arccost , 出更为复杂.1 t所以凑微法和第二换元积分法都失效反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如： （假设u,v为两个具有连续导数的函数）已知： （u v）' u'v uv'对上式两边积分得：uv C u'vdx uv'dx移项得： uv'dx uv u'vdx观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意： uv'dx中v为导数形式故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

x cosxdx先要化的和要求积分的形式一样x（sin x）'dxxsin x x'sinxdx xsin x cosx C通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分 其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”2公式设函数u u(x)和v v(x)都具有连续的导数，则有分部积分公式：uv'dx uv u'vdx (或 udv uv vdu)3例题讲解例1 .计算不定积分 xexdx .解设 u x , v ex,贝U u 1, v ex (*),于是 xexdx xdex xex exdx xex ex C .注意：(1) (*)处没有加C,这是因为我们取了最简单的情况 C 02)若设 u ex, dv xdx ,贝Uxexdx-x2ex - x2exdx,2 2u,v非常关键,积分 x2exdx比积分 xexdx要复杂，没有达到预期目的.由此可见，选择般要考虑下列两点:(1) v要易求；(2)积分 u vdx要比积分 uv dx易计算.练习：求 xsin xdx例2 .计算不定积分 in xdx分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数 乘积，能否用分部积分公式呢其实只需要将被积函数看作 1 in x即可。

1解：设 u in x , v 1 ,则 u 一，v x ,x于是in xdxin xdxxln x x — dx xxin x x C注意：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用于是例3 .计算不定积分 xarctanxdx解 设 u arctan x, v x ;贝U u1 x2，V, 1 2 1 xxarctanxdx —x arctan x - 2dx2 2 1 x1 2 1x11—x arctan x — ——2 dx2 2 x 11 2 - 1x arctanx 一2 21 2-(x 1)arctanx1(1 -^—)dxx 11x C21 2 , 1 ,x arctanx (x arctanx) C2 2练习：求 arcsinxdx例4.计算不定积分 x2exdx .2 x x解 设 u x , v e ,则 u 2x, v e ,2 x 2 x 2 x x ।x e dx x de x e 2 xe dx2 x x xx e 2[xe e dx]2 x x x f"xx e 2xe 2e C如果要两次分部积分，选取u,v要一致，否则会还原.例5.计算不定积分 exsinxdx.解：ex sin xdxsin xdexx • e sin xex cosxdxx • e sin xxe cosxex sin xdx好像进入了死胡同，实则不然，令ex sin xdx I，则上式变为:x xe sinx e cosx2I ex sin x ex cosx C1I 1(ex sin x ex cosx) C,(其中 C C1)2 2练习：求 ex cosxdx 。

从这几个典型例题可以看到，一般情况下， u,v可按下列规律选择：(1)形如 xn sinkxdx, xn coskxdx,, xnekxdx (其中n为正整数)的不定积分，令u xn ,余下的凑成v2)形如 xn ln xdx, xn arcsinxdx, xn arctanxdx时，令 v xn,余下的凑成 u3)形如 eaxsinbxdx, eax cosbxdx的不定积分，可以任意选择 U与v ,但由于要使用两次分部积分公式，两次选择 U与v应保持一致，只有这样才能出现循环公式并求出积分说明(1)用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取 U及v ,使uv更加便于积分.(2) 一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法.例6.求In xnexdx的递推公式，其中n为正整数，并求出Ii12,l3n x n x n 1 x n x n 1 x n x用牛：I n x e dx x e nx e dx x e n x e dx x e nl n 1因此可得In xnexdx的递推公式为In xnex nIn 1，(n 1,2,3,)其中I0 exdx ex C ,那么有11 xex 10 xex ex C1I2 x2ex 2I1 x2ex 2xex 2ex C2I3 x3ex 3I2 x3ex 3x2ex 6xex 6ex C3例7 .计算不定积分 e、*dx .一 x t解 e xdx e 2tdt 2 te’dt 2 tdet 2(tet etdt)2tet 2et c 2、. xe x 2e x C4小结1、分部积分公式2、在分部积分的公式中， u,v的选取。

3、结合其他的积分方法灵活的使用公式作业：习题 4-3 ( P132) 1、4、5、7、8、9、10。