复数的基本知识.doc

补充复数的基本知识：1、虚数单位由于在实数集 R 内负数不能开平方，所以在实数集内方程 x2 1 0 无解引入虚数，虚数单位符号为 j ，并规定（ 1）它的平方等于 -1，即 j 2 1 ；（ 2） j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立性质： j1 j ； j 2 1 ； j 3 j ； j 4 1一般地，对于任意整数 n，有：j 4n 1； j4n 1 j ； j 4n 2 1； j 4n 3 j2、复数集定义：形如 a bj (a, b R) 的数称为复数通常用大写拉丁字母 Z 表示一个复数，即 Z a bj (a,b R)其中 a 称为复数 Z 的实部， Re(Z ) a；b 称为复数 Z 的虚部， Im( Z ) b ；举例： 23 j ， - 1 5 j ， 3 j 的实部、虚部？实数 ( b有理数0)复数 a bj无理数纯虚数 (a0)虚数 (b0)0)非纯虚数 ( a3、复数的相等及共轭复数定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即a bj c dj a c, b d定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为.共轭复数。

复数 Za bj 的共轭复数记作 Z a bj例： 1 j,23j 的共轭复数注： (abj )(abj ) a2 b24、复数的几何表示（复平面）任何一个复数 a bj 都可以由一对有序实数 ( a, b) 唯一确定；反之，任何一对有序实数 (a,b) 都能唯一确定一个复数 a bj ；因此，复数 Z a bj 与平面直角坐标系中的点 Z(a, b) 是一一对应关系于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为 a ，纵坐标为 b 的点 Z(a, b) 表示复数 Z a bj j 虚轴a bjb实轴用来表示复数的直角坐标平面称为 复平面复数 Z a bj 与复平面上的点 Z(a,b) 是一一对应关系即复数 Z a bj 点 Z(a, b)矢量（或向量）：既有大小又有方向 矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小如下图所示：.j 虚轴a bjb实轴相等矢量：大小相等且方向相同的矢量1) 矢量的大小称为矢量的模；矢量 0Z 的模 r 称为复数 Za bj 的模，记作： Z 或 abj 即:r Z a bja2 b2(2) 矢量的方向以实轴的正半轴为始便，矢量 0Z 所在的射线为终边的角 ，称为复数Z a bj 的辐角。

非零复数的辐角有无穷多个值，他们彼此相差 2 的整数倍 通常适合于 的辐角 称为主辐角， 值称为辐角的主值 规定：要用主辐角表示复数 Z a bj 的辐角模和主辐角可以唯一确定一个非零复数 tanbarctan b2b2rZ abjr (cosj sin )cosbsinrr5、复数的指数形式欧拉公式： e j cos j sin例如： e j3cosj sin33对于任何一个复数：.Zabjr (cosj sin)r e j称为复数的指数形式例： 13jcosj sinej3223335 j34( 2j5)34 e j arctan5334347、复数的四则运算（1）复数代数形式（ Z a bj ）的加减法(a bj ) (c dj ) a c (b d ) j复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减2）复数代数形式的乘法(a bj )(c dj ) ac bd (ad bc) j按多项式的乘法运算法则进行，把所得结果中 j 2 换成 -1，并且把实部、虚部分别合并例： ( 2 3 j )(1 j )1 5 j(4 3 j )(2 3 j ) 17 6 j（3）复数代数形式的除法分子与分母同乘以分母的共轭复数，分母实数化后，所得结果要化简。

cdj(cdj )( abj )acbdad bcja bj( a bj )(a bj )a2 b2a2 b2例： 1j51 j32 j1313（4）复数指数形式（ Zr e j）的乘除运算令 Z1r1e j 1 ； Z 2 r 2 ej 2则Z1 ?Z2r1ej1r2 e j21 2 e j ( 1 2)rrZ1r1e j 1r1ej (1)Z 2r 2e j 2r 22.例： (1j )(3 4 j )52 e j (arctan4)431je jj1e j (44)2j（5）复数极坐标形式（ Z r ）的乘除运算设复数 Z1r11 ， Z 2 r 2 2Z1?Z2r 1r 2(1 2)Z1r1(12)Z 2r28、方程根的求解一元二次方程根的求解一元二次方程有两个根，可以是两个实数根，也可以是复数根（共轭复根） 例： x27x 60x11， x16 ；2 x2x 20x1,2115 j ；4补充题：1、计算下列各式，并作几何表示（1） (22 j ) (12 j )（2） (35 j )(32 j )(22 j )(12 j )3 4 jarctan 453.1r 5 在复平面上描述3(35 j)(32 j )3 j90 r3 在复平面上描述2、计算下列各式，并化成代数形式（1） 2 e j 12 3 e j 6（2）2e j 31j 6e22e j 12 3e j 62 3 e j 466 j.2e j 31j 6 e j 21e23、求出下列方程的解（1）2750x1,2729xx2（2） x23x60x1,2315 j2.。