高等数学第1章第4节.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,无穷小量,无穷小量的比较,无穷大量,4 无穷小量与无穷大量,1.,定义,极限为零的变量称为,无穷小,.,一、无穷小,例如,注,:,无穷小是变量,不能与很小的数混淆,;,零是可以作为无穷小的唯一的数,.,无穷小的运算性质,:,定理,1.1,在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,.,证,注意,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,.,定理,1.2,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,证,推论,1,在同一过程中,有极限的变量与无穷小的,乘积是无穷小,.,推论,2,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,定理,1.3,有限个无穷小的乘积也是无穷小,.,都是无穷小,2.,无穷小与函数极限的关系,:,证,必要性,充分性,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,.,不可比,.,观察各极限,1.4.2,无穷小的比较,定义,:,例1,解,例2,解,常用等价无穷小,:,用等价无穷小可给出函数的近似表达式,:,例如,定理,(,等价无穷小替换定理,),证,等价无穷小代换,例3,解,不能滥用等价无穷小代换,.,对于代数和中各无穷小不能分别替换,.,注意,例4,解,解,错,例5,解,例6,例7,1.,无穷小的比较,:,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,.,2.,等价无穷小的替换,:,求极限的又一种方法,注意适用条件,.,高,(,低,),阶无穷小,;,等价无穷小,;,无穷小的阶,.,小结,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在,故当 时,绝对值无限增大的变量称为,无穷大,.,1.4.3,无穷大量,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注,:,无穷大是变量,不能与很大的数混淆,;,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大,.,不是无穷大,无界，,证,定理,5,在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数为无穷小,;,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,.,证,三、无穷小与无穷大的关系,意义,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,.,1,、主要内容,:,两个定义,;,2,、几点注意,:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的,.,（,1,）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（,2,）,无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,.,（,3,）无界变量未必是无穷大,.,小结,A,）,无穷小；,B,）,无穷大；,C,）,有界但不是无穷小；,D,）,无界但不是无穷大。

选,D.,1.4.4.,子列收敛性,(,函数极限与数列极限的关系,),定义,定理,证,例如,注,:,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等,.,例7,证,二者不相等,。