三角函数的图象与性质练习题及复习资料.pdf

1 / 10 三角函数的图象与性质练习题 一、选择题 1．函数 f(x)＝sin xcos x 的最小值是 ( ) A．－1 B．－12 C.12 D．1 2．如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0 中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 3．已知函数 y＝sin πx3在区间[0，t]上至少取得 2 次最大值，则正整数 t 的最小值是 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知在函数 f(x)＝ 3sin πxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在 x2＋y2＝R2上，则 f(x)的最小正周期为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知 a 是实数，则函数 f(x)＝1＋asin ax 的图象不可能是 `( D ) 6．给出下列命题： ①函数 y＝cos23x＋π2是奇函数； ②存在实数 α，使得 sin α＋cos α＝32； ③若 α、β 是第一象限角且 α<β，则 tan α0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数 y＝tanωx＋π6的图象重合，则ω 的最小值为 ( ) A.16 B.14 C.13 D.12 11．电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当 t=1001秒时，电流强度是 ( ) A．－5 安 B．5 安 C．5 3安 D．10 安 12．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为 π，为了得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，只要将y＝f(x)的图象 ( ) A．向左平移π8个单位长度 B．向右平移π8个单位长度 C．向左平移π4个单位长度 D．向右平移π4个单位长度 二、填空题(每小题 6 分，共 18 分) 13．函数 y＝12sinπ4－23x 的单调递增区间为______________． 14． 已知 f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)， fπ6＝fπ3， 且 f(x)在区间π6，π3上有最小值， 无最大值， 则 ω＝________. 15．关于函数 f(x)＝4sin2x＋π3(x∈R)，有下列命题： ①由 f(x1)＝f(x2)＝0 可得 x1－x2必是 π 的整数倍； ②y＝f(x)的表达式可改写为 y＝4cos2x－π6； ③y＝f(x)的图象关于点－π6，0 对称； ④y＝f(x)的图象关于直线 x＝－π6对称． 其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 3 / 10 16． 若动直线x＝a与函数 f(x)＝sin x 和 g(x)＝cos x 的图象分别交于 M、 N两点， 则|MN|的最大值为________． 三、解答题(共 40 分) 17．设函数 f(x)＝sin()2x＋φ (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝π8. (1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调增区间． 18．已知函数 f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1 (x∈R，ω>0)的最小正周期是π2. (1)求 ω 的值； (2)求函数 f(x)的最大值，并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合． 19．设函数 f(x)＝cos ωx( 3sin ωx＋cos ωx)，其中 0<ω<2. (1)若 f(x)的周期为 π，求当－π6≤x≤π3时 f(x)的值域； (2)若函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x＝π3，求 ω 的值． 20．已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程． 4 / 10 21．函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示． (1)求函数 y＝f(x)的解析式； (2)将函数 y＝f(x)的图象向右平移π4个单位，得到 y＝g(x)的图象，求直线 y＝ 6与函数 y＝f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 22．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R)的图象的一部分如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)当 x∈－6，－23时，求函数 y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的 x 的值． 5 / 10 三角函数的图象与性质练习题及答案 一、选择题 1．函数 f(x)＝sin xcos x 的最小值是 ( B ) A．－1 B．－12 C.12 D．1 2．如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0 中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 3．已知函数 y＝sin πx3在区间[0，t]上至少取得 2 次最大值，则正整数 t 的最小值是 ( C ) A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知在函数 f(x)＝ 3sin πxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在 x2＋y2＝R2上，则 f(x)的最小正周期为 ( D ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知 a 是实数，则函数 f(x)＝1＋asin ax 的图象不可能是 `( D ) 6．给出下列命题： ①函数 y＝cos23x＋π2是奇函数； ②存在实数 α，使得 sin α＋cos α＝32； ③若 α、β 是第一象限角且 α<β，则 tan α0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数 y＝tanωx＋π6的图象重合，则ω 的最小值为 ( D ) A.16 B.14 C.13 D.12 11．电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当 t=1001秒时，电流强度是 ( A ) A．－5 安 B．5 安 C．5 3安 D．10 安 12．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为 π，为了得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，只要将y＝f(x)的图象 ( A ) A．向左平移π8个单位长度 B．向右平移π8个单位长度 C．向左平移π4个单位长度 D．向右平移π4个单位长度 二、填空题(每小题 6 分，共 18 分) 13．函数 y＝12sinπ4－23x 的单调递增区间为______________．98π＋3kπ，21π8＋3kπ (k∈Z) 14． 已知 f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)， fπ6＝fπ3， 且 f(x)在区间π6，π3上有最小值， 无最大值， 则 ω＝________. 314 15．关于函数 f(x)＝4sin2x＋π3(x∈R)，有下列命题： ①由 f(x1)＝f(x2)＝0 可得 x1－x2必是 π 的整数倍； ②y＝f(x)的表达式可改写为 y＝4cos2x－π6； ③y＝f(x)的图象关于点－π6，0 对称； ④y＝f(x)的图象关于直线 x＝－π6对称． 7 / 10 其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③ 16．若动直线 x＝a 与函数 f(x)＝sin x 和 g(x)＝cos x 的图象分别交于 M、N 两点，则|MN|的最大值为________． 2 三、解答题(共 40 分) 17．设函数 f(x)＝sin()2x＋φ (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝π8. (1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调增区间． 解 (1)令 2×π8＋φ＝kπ＋π2，k∈Z， ∴φ＝kπ＋π4，又－π<φ<0，则－540)的最小正周期是π2. (1)求 ω 的值； (2)求函数 f(x)的最大值，并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合． 解 (1)f(x)＝21＋cos 2ωx2＋sin 2ωx＋1＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2 ＝ 2sin 2ωxcosπ4＋cos 2ωxsinπ4＋2 ＝ 2sin2ωx＋π4＋2. 由题设，函数 f(x)的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2， 所以 ω＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ 2sin4x＋π4＋2. 当 4x＋π4＝π2＋2kπ，即 x＝π16＋kπ2(k∈Z)时， sin4x＋π4取得最大值 1，所以函数 f(x)的最大值是 2＋ 2， 此时 x 的集合为x|x＝π16＋kπ2，k∈Z . 19．设函数 f(x)＝cos ωx( 3sin ωx＋cos ωx)，其中 0<ω<2. (1)若 f(x)的周期为 π，求当－π6≤x≤π3时 f(x)的值域； 8 / 10 (2)若函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x＝π3，求 ω 的值． 解 f(x)＝32sin 2ωx＋12cos 2ωx＋12＝sin2ωx＋π6＋12. (1)因为 T＝π，所以 ω＝1. ∴f(x)＝sin2x＋π6＋12， 当－π6≤x≤π3时，2x＋π6∈－π6，5π6， 所以 f(x)的值域为0，32. (2)因为 f(x)的图象的一条对称轴为 x＝π3， 所以 2ωπ3＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)， ω＝32k＋12 (k∈Z)， 又 0<ω<2，所以－130，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程． 解 (1)由图象可知，函数的最大值 M=3，最小值 m=-1， 则 A=, 1213, 22) 1(3b， 又π)6π32(2T，∴2ππ2π2T，∴f(x)=2sin(2x+φ)+1， 将 x=6π，y=3 代入上式，得1)3π( ∴π22π3πk，k∈Z， 即φ=6π+2kπ，k∈Z，∴φ=6π， ∴f(x)=2sin)6π2(x+1. (2)由 2x+6π=2π+kπ，得 x=6π+21kπ，k∈Z， ∴f(x)=2sin)6π2(x+1 的对称轴方程为 216πxkπ，k∈Z. 21．函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示． (1)求函数 y＝f(x)的解析式； 9 / 10 (2)将函数 y＝f(x)的图象向右平移π4个单位，得到 y＝g(x)的图象，求直线 y＝ 6与函数 y＝f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 解 (1)由题图知 A＝2，T＝π，于是 ω＝2πT＝2， 将 y＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得 y＝2sin(2x＋φ)的图象． 于是 φ＝2×π12＝π6， ∴f(x)＝2sin2x＋π6. (2)依题意得 g(x)＝2sin2x－π4＋π6＝－2cos2x＋π6. 故 y＝f(x)＋g(x)＝2sin2x＋π6－2cos2x＋π6 ＝2 2sin2x－π12. 由 2 2sin2x－π12＝ 6，得 sin2x－π12＝32. ∵00，ω>0，|φ|<π2，x∈R)的图象的一部分如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)当 x∈－6，－23时，求函数 y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的 x 的值． 解 (1)由图象知 A＝2，T＝8， ∵T＝2πω＝8，∴ω＝π4. 又图象过点(－1,0)，∴2sin－π4＋φ ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f(x)＝2sinπ4x＋π4. (2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sinπ4x＋π4＋2sinπ4x＋π2＋π4＝2 2sinπ4x＋π2＝2 2cos π4x. ∵x∈－6，－23，∴－3π2≤π4x≤－π6. ∴当π4x＝－π6，即 x＝－23时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值 6； 10 / 10 当π4x＝－π，即x＝－4 时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2 2. 。