李贤平概率论基础21.ppt

2.1 条件概率与统计独立性,Ch2：条件概率与统计独立性,§1 条件概率,一、条件概率,三、全概率公式与贝叶斯公式,二、乘法公式,考虑有两个孩子的家庭：,一、条件概率,A—“家中至少有一个男孩”：,1. 引例:,B——“家中至少有一个女孩”：,事件B 已经发生的条件下事件 A发生的概率,记为,针对几何概型：,同理可得,为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.,2. 定义,1) 缩减样本空间：将  缩减为IB=B. 2) 用定义： P(A|B) = P(AB) / P(B).,条件概率 P(A|B) 的计算,注意：总假定条件事件的概率大于0.,条件概率也是概率, 故具有概率的性质：,,,,3. 性质,P(|B) = 1 ; P(B|) = P(B) ;P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.,注 意 点,例1 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少?,设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,,则有,解,例2 在某地区中任抽一人，若患有原发性肝癌则 记为A，若甲胎球蛋白高含量记为B，已知：,则有,(1) 设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是( )① P(A)P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B),(2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4,则 P(B)=( ).,课堂练习,分析：P(A|B) = P(AB) / P(B)= P(A) / P(B),分析:P(AB)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A),乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.,条件概率的三大公式,二、 乘法公式,例3 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.,,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0,,,三、全概率公式与贝叶斯公式,,例4 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱， 从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,解：记 Ai={球取自i号箱},i=1,2,3; B ={取得红球},即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,,,,,2,,,,,3,,,,,,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每一项 运用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15,1. 全概率公式,全概率公式,在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.,由公式不难看出:,“全”概率P(B)被分解成了许多部分之和.,理论、实用意义:,某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,例 5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,解: 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3,由全概率公式P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),则 B=A1B+A2B+A3B,可求得:,为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3,将数据代入计算得: P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3),,=0.458,=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1,即飞机被击落的概率为0.458.,例6,称此为贝叶斯公式.,2. 贝叶斯公式,1、该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已经发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,“已知结果求原因”,2、原因事件Ai的概率P(Ai) 称为先验概率，它反映了各种原因发生的可能性大小，是以往经验的总结。

3、条件概率P(Ai|B) 称为后验概率，它反映了实验之后对各种原因发生的可能性大小的修正例 7,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由贝叶斯公式得,解,例8,由贝叶斯公式得所求概率为,应用举例 —— 肠癌普查,设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件B 表示,被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：,某患者首次检查反应为阳性, 试判断该患者是否已,患肠癌？ 若三次检查反应均为阳性呢？,由Bayes 公式得,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率P(B)=0.005,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(B｜A1)= 0.087,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,从0.005增加到0.087,将近增加约17倍.,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 无意义？,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(B|A1)= 0.087,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有8.7% (平均来说，1000个人中大约只有87人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,接连两次检查为阳性,患肠癌的可能性过半,两次检查反应均为阳性,还不能断定患者已患肠癌.,连续三次检查为阳性, 几乎可断定已患肠癌,口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。

现往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？,课堂练习,2/3,。