[2016年_2018年]三年高考真题精编解析一专题17椭圆和综合应用.doc

1.[2017XX,2]椭圆的离心率是A．B．C．D．[答案]B[解析]试题分析：,选B．2.[2017课标3,理10]已知椭圆C：,〔a>b>0的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为A．B．C．D．[答案]A[解析]试题分析：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点,半径为,圆的方程为,直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即：,整理可得,即,从而,椭圆的离心率,故选A.[考点]椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系[名师点睛]椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率<或离心率的取值范围>,常见有两种方法：①求出a,c,代入公式e＝；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2＝a2－c2转化为a,c的齐次式,然后等式<不等式>两边分别除以a或a2转化为关于e的方程<不等式>,解方程<不等式>即可得e.3.[2016高考XX理数]已知椭圆C1：+y2=11>与双曲线C2：–y2=10>的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则〔A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m

4.[2016高考新课标3理数]已知为坐标原点,是椭圆：的左焦点,分别为的左,右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为〔〔A〔B〔C〔D[答案]A[解析]试题分析：由题意设直线的方程为,分别令与得点,,由,得,即,整理,得,所以椭圆离心率为,故选A．考点：椭圆方程与几何性质．[思路点拨]求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：〔1直接求得的值,进而求得的值；〔2建立的齐次等式,求得或转化为关于的等式求解；<3>通过特殊值或特殊位置,求出．5.[2015高考新课标1,理14]一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.[答案][解析]设圆心为〔,0,则半径为,则,解得,故圆的方程为.6.[2016高考XX卷]如图,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是.[答案][解析]由题意得,因此考点：椭圆离心率[名师点睛]椭圆离心率的考查,一般分两个层次,一是由离心率的定义,只需分别求出,这注重考查椭圆标准方程中量的含义,二是整体考查,求的比值,这注重于列式,即需根据条件列出关于的一个齐次等量关系,通过解方程得到离心率的值.7.[2017课标1,理20]已知椭圆C：〔a>b>0,四点P1〔1,1,P2〔0,1,P3〔–1,,P4〔1,中恰有三点在椭圆C上.〔1求C的方程；〔2设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明：l过定点.[解析]试题分析：〔1根据,两点关于y轴对称,由椭圆的对称性可知C经过,两点.另外知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出C的方程；〔2先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,在设直线l的方程,当l与x轴垂直,通过计算,不满足题意,再设设l：〔,将代入,写出判别式,韦达定理,表示出,根据列出等式表示出和的关系,判断出直线恒过定点.试题解析：〔1由于,两点关于y轴对称,故由题设知C经过,两点.又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此,解得.故C的方程为.由题设可知.设A〔x1,y1,B〔x2,y2,则x1+x2=,x1x2=.而.由题设,故.即.解得.当且仅当时,,欲使l：,即,所以l过定点〔2,[考点]椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.8.[2017课标II,理]设O为坐标原点,动点M在椭圆C：上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足。

1) 求点P的轨迹方程；<2>设点Q在直线上,且证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F[答案]<1> <2>证明略[解析]试题分析：<1>设出点P的坐标,利用得到点P与点,M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为<2>利用可得坐标关系,结合<1>中的结论整理可得,即,据此即可得出题中的结论试题解析：〔1设,设, 因为在C上,所以因此点P的轨迹方程为〔2由题意知设,则,由得,又由〔1知,故所以,即又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F[考点]轨迹方程的求解；直线过定点问题9.[2017XX,理21]在平面直角坐标系中,椭圆：的离心率为,焦距为.〔Ⅰ求椭圆的方程；〔Ⅱ如图,动直线：交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,是的两条切线,切点分别为.求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率.[答案]〔I.〔Ⅱ的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.[解析]试题分析：〔I本小题由,确定即得.〔Ⅱ通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理,应用弦长公式确定及圆的半径表达式.试题解析：〔I由题意知,,所以,因此椭圆的方程为.〔Ⅱ设,联立方程得,由题意知,且,所以.由题意可知圆的半径为由题设知,所以因此直线的方程为.联立方程得,因此.由题意可知,而,令,则,因此,当且仅当,即时等号成立,此时,所以,因此,所以最大值为.综上所述：的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.[考点]1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.10.[2017天津,理19]设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为.〔I求椭圆的方程和抛物线的方程；〔II设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点〔异于点,直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程.[答案]〔1,.〔2,或.[解析]试题分析：由于为抛物线焦点,到抛物线的准线的距离为,则,又椭圆的离心率为,求出,得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则,设直线方程为设,解出两点的坐标,把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标,写出所在直线方程,求出点的坐标,最后根据的面积为解方程求出,得出直线的方程.试题解析：〔Ⅰ解：设的坐标为.依题意,,,,解得,,,于是.所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为.〔Ⅱ解：设直线的方程为,与直线的方程联立,可得点,故.将与联立,消去,整理得,解得,或.由点异于点,可得点.由,可得直线的方程为,令,解得,故.所以.又因为的面积为,故,整理得,解得,所以.所以,直线的方程为,或.[考点]直线与椭圆综合问题11.[2017XX,17]如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.〔1求椭圆的标准方程；〔2若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.F1OF2xy<第17题>[答案]〔1〔2[解析]解：〔1设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以,,解得,于是,因此椭圆E的标准方程是.〔2由〔1知,,.设,因为点为第一象限的点,故.当时,与相交于,与题设不符.当时,直线的斜率为,直线的斜率为.因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为,从而直线的方程：,①直线的方程：. ②由①②,解得,所以.因为点在椭圆上,由对称性,得,即或.又在椭圆E上,故.由,解得；,无解.因此点P的坐标为.12.[2016高考新课标1卷]〔本小题满分12分设圆的圆心为A,直线l过点B〔1,0且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.〔I证明为定值,并写出点E的轨迹方程；〔II设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.[答案]〔Ⅰ〔〔II[解析]试题分析：根据可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程；〔II分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为x斜率k的函数,再求最值.试题解析：〔Ⅰ因为,,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：〔.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.考点：圆锥曲线综合问题[名师点睛]高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.13.[2016高考XX理数]〔本小题满分14分平面直角坐标系中,椭圆C： 的离心率是,抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.〔I求椭圆C的方程；〔II设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.〔i求证：点M在定直线上;〔ii直线与y轴交于点G,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.[答案]〔Ⅰ;〔Ⅱ〔i见解析；〔ii的最大值为,此时点的坐标为[解析]试题分析：〔Ⅰ根据椭圆的离心率和焦点求方程；〔Ⅱ〔i由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立,进而判断点M在定直线上；〔ii分别列出,面积的表达式,根据二次函数求最值和此时点P的坐标.试题解析：〔Ⅱ〔i设,由可得,所以直线的斜率为,因此直线的方程为,即.设,联立方程得,由,得且,因此,将其代入得,因为,所以直线方程为.联立方程,得点的纵坐标为,即点在定直线上.〔ii由〔i知直线方程为,令得,所以,又,所以,,所以,令,则,当,即时,取得最大值,此时,满足,所以点的坐标为,因此的最大值为,此时点的坐标为.考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.14.[2015XX高考,18]〔本小题满分16分如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.〔1求椭圆的标准方程；〔2过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.[答案]〔1〔2或．[解析]试题分析〔1求椭圆标准方程,只需列两个独立条件即可：一是离心率为,二是右焦点F到左准线l的距离为3,解方程组即得〔2因为直线AB过F,所以求直线AB的方程就是确定其斜率,本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系,这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组,解出AB两点坐标,利用两点间距离公式求出AB长,再根据中点坐标公式求出C点坐标,利用两直线交点求出P点坐标,再根据两点间距离公式求出PC长,利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.〔2当轴时,,又,不合题意．当与轴不。