第4讲 拉压杆的变形与变形能.docx

第 4 讲 教学方案——拉压杆的变形与变形能基 本 内 容拉压杆的变形与变形能教 学 目 的1、 熟练掌握各种拉压杆（等直杆、阶梯杆、变截面杆）变形的计算 方法2、 掌握横向变形和泊松比的概念3、 掌握应变能密度的概念，熟练变形能的计算4理解利用小变形假设，用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定 行架结构变形的方法重点 '难点本节重点：拉压杆的变形与变形能、简单平面静定行架结构变形的计 算本节难点：用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形§ 2-8拉伸或压缩时的变形1 •沿杆件轴线的轴向变形如图2-23，设等直杆的原长为l，横截面面积为A在轴向力P作用下，长度由l变为1］杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为pAl = 1 — 11由于杆内各点轴向应力b与轴向应变£为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长A1除 以原长1:（1）所以A1£ =——1(2)-N1 P1EA EA式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长A1与拉力P和杆件的原长度1成正比， 与横截面面积A成反比这是胡克定律的另一种表达形式式中EA是材料弹性模量与拉压杆件 横截面面积乘积，EA越大，则变形越小，将EA称为抗拉（压）刚度。

2■横向变形(2-6)若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为b，变形后相应尺寸变为方］，则横向变形为Ab = b — bi横向线应变可定义为,Ab£ = b由实验证明，在弹性范围内8r—二卩 （2-7）卩为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比由于卩为反映材料横向变形能力的材料弹性常 数，为正值，所以，一般冠以负号卩=-，称为泊松比或横向变形系数8£‘与8的关系为8' = —卩8 （2-8）3•变截面杆的伸长变形人）=铝B9 2-2 5例，变截面杆内应力相同，则杆截面面积按什么规律变化？（A + dA）J =cA + yAdx ； = — dx 积分：In A = — x + C ； A = C e；xA c c 0 oP — P —在x = 0处 A = A，所以：C = A = ； A = A ec" = e0 o o c 0 c即：A按指数函数变化例2-6 图2-25所示为变截面杆，已 知BD段A = 2 cm2， DA 段 A = 4 cm2， P = 5 kN，1 2 1P2 = 10 kN求AB杆的变形Al 材料的ABE = 120 x 103MPa）解：首先分别求得BD、DC、CA三段的轴力N ， N ，1 2N1 =—5kN ； N2 =—5kN； N3 = 5kNNlAl = Al = iBD 1 EA1—5 x 103 x 0.5120 x 109 x 2 x 10-4= —1.05 x 10-4(m)Al =Al =DC 2 EA2—5 x103 x 0.5120 x109 x 4 x10-4=—0.52 x10-4(m)Al = AlCA 3N l—zEA35 x 103 x 0.5120 x 109 x 4 x 10-4=0.52 x 10 - 4(m)Al = Al + Al + Al = —1.05 x 10-4 (m)AB 1 2 3Al的负号说明此杆缩短。

AB变形与位移：对轴向拉（压）杆，它们的关系明确，如例2-6中因为8 = 0，则Al =5 对A AB B于杆系结构，由于变形和结构约束条件，从而使 变形和位移之间还应满足一定的几何关系例2-7图2-26a所示杆系结构，已知BC杆圆截面d = 20mm，BD杆为8号槽钢，匚］=160 MPa,由工X = 0，得N cos a 一 N = 02 1(1)由工Y = 0，得N sin a 一 P = 02(2)所以N = 75kN2（压）N = 45kN1（拉）（2）计算变形由 BC : CD : BD = 3:4:5，得 BD = l = 2 mE = 200GPa，P = 60kN求B 点的位移解：（1）计算轴力，取节点B （图b）BC杆圆截面的面积A1二314X10“2, BD杆为8号槽钢，由型钢表查得截面面积A二1020 x 10-6 m2，由胡克定律求得2BB =M11Nl―14-EA145 x 103 x 1.2200 x 109 x 314 x 10-6=0.86 x 10-3 (m)N l BB 二 Al 二 2-2 2 2 EA21)确定 B 点位移75 x 103 x 2200 x 109 x 1020 x 10-6= -0.732 x 10-3m)已知斗为拉伸变形，AZ2为压缩变形。

设想将托架在节点B拆开(图a), BC杆伸长变形后变为B1C，BD杆压缩变形后变为Bf分别以C点和D点为圆心，CB］和DB?为半径，作 圆弧相交于B3B3点即为托架变形后B点的位置因为是小变形，B1B3和B2B3是两段极其微小 的短弧，因而可用分别垂直于BC和BD的直线线段来代替，这两段直线的交点即为B3BB即33为 B 点的位移也可以用图解法求位移BB 这里用解析法来求位移BB注意到三角形BCD三边的长度比为333:4:5，由图c可以求出3B B = Al x + Al2 4 2 5 14 3BB = BB + B B = BB x —+ B B x-1 3 1 4 4 3 2 5 2 4 44 3 3=Al x + (Al x +Al ) = 1.56 x 10-3 m2 5 2 5 1 4B 点的水平位移BB = Al = 0.86 x 10-3 m11最后求出位移BB为3BB (BB )2 + (BB)2 = 1.78X10-3m3 1 3 1§2-9轴向拉（压）杆件的变形能（1）变形能：弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能（或应变能）对于始终处 于静力平衡状态的物体，如果物体的变形处于弹性范围内，则原来慢慢施加的外力对变形体所作 的外力功W几乎全部转化为物体的弹性变形能U,则由能量守恒原理：U = W下面以图2-27来讨论轴向拉伸或压缩的变形 能。

对轴向拉压（杆），拉力P作功为W = - P l27 Pl所以，由胡克定律A l = ，得EA(2)U = W = 1 PA l =巴(2-10)2 2 EA定义比能（或应变能密度）u为单位体积的变形能，即U PAl 1 u = = = —ceV 2 Al 2（2-11）由胡克定律◎二EW ,则得1 Ee 2 u = — ce =2C 22 = 2E单位为焦/米3, J/m3例2-9简易起重机如图2-28所示BD撑杆为无缝 钢管，外径90mm,壁厚2.5mm,杆长l = 3m弹性 模量E = 210GPaBC是两条横截面面积为172mm2的钢索，弹性模量E] = 177GPa若不考虑立柱的变 形，试求B点的垂直位移设P = 30kN解：从三角形BCD中解出BC和CD的长度分别为BC = l = 2.20 m ,1算出BC和BD两杆的横截面面积分别为CD = 1.55 mA = 2 x 172 = 344 mm 2602 — 8521687 mm2A = 14由BD杆的平衡方程，求得钢索BC的拉力为N 二 1.41P1BD 杆的压力为N 二 1.93P2当载荷P从零开始缓慢地作用于由BC和BD两杆组成的简单弹性杆系上时，P所作的功是W = 1P52它在数值上应等于杆系的叺形能，亦即等于BC和BD两杆变形能的总和。

故1 N 2 l N 2 lP5 = 1―1- + 2―22 2 E A 2 E A1 1 2 2将各数值代入，由此求得5 = 14.93x 10-8p = 4.48 x 10-3 m关于用能量法求复杂结构的位移将在以后详细讨论。