对数平均数的不等式链的几何解释和应用.doc

WORD格式可编辑对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析 2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是:a + b a — b — a — b设a,b • 0,a = b,则 ab，其中 被称之为对数平均数.2 In a -1 n b In a-1 n b童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地 探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解1对数平均数的不等关系的几何解释1反比例函数 f x x 0的图象，如图所示， AP II BC IITU II KV，MN II CD II x轴,xA a,0 , P a,- , B b,0 ,Q b丄,T .ab-^，作f x在点K邑卫，二 处的切线分别与I a丿''I b丿I 底丿 I 2 a + b丿AP, BQ交于E,F，根据左图可知,(J a M b 工 (J a — 6 X专业知识 整理分享因为S曲边梯形ABQP > S梯形ABFE = S矩形ABNM ，b - 2所以 > -dx= In b- lna> (b- a),◎ x a+ bIn a,% ab - 又2曲边梯形AUTP =dx = In ab -◎ x-(lnb-In a)= 曲边梯形ABQP ,2 S弟形 ABCD，根据右图可知,b - a§曲边梯形AUTP < S梯形AUTP ，所以ln b- ln a < .——Vab另外，乐形ABQX< &边梯形ABQP < S弟形ABQP < S巨形ABYP，可得:1(b- a)< ln b- b'丿lna< 1 骣1 12桫a+b壬b- a)d上二>2 ln b- ln a.ab > 2 >1 1 + 一 a ba(b> a>0).可以用来证明含自然对数的不等式问题•对数2不等式链的应用 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的.b- a2.1b> > a(a> 0)的应用In b- In a(2014年陕西)设函数f(x)=ln(1 • x) , g(x)二xf(x)，其中f (x)是f(x)的导函数.(1)(2)(略)(3)解析设n • N .，比较g 1 g J IT g n与n-fn的大小，并加以证明.x(3)因为 g x —,1 +x1 2 n ( 1 1 1所以 g 1 g 2 III g n =- - - n - ； —，2 3 n +1 \2 3 n +1J而n - f n ]=n -In n • 1 ,因此，比较g 1 g Jl| g n与n-fn的大小，即只需比较1 1 —与In n，1的大小即可.2 3 n 1b a 1根据b>a>0时，b>lT^，即 b(b- a) a > 0 时， > a，即 ln b- l na< （b- a）,令 a = n ,b= n + 1,In b- In a a1 1 1 1则 ln(n + 1)- In n < ,可得：ln(n + 1)< 1+ + + L + .n 2 3 n例2 （ 2012年天津）已知函数 f x[=x-l n x，a a 0的最小值为o.(1)(2)(略)(3)证明： -In 2n 1 ：2 n・ N* .y 2i —12 2 2 2解析（3）易求行，待证不等式等价于3 - -HI 2^ ln 2n 1 .b - a 1根据 b > a> 0 时， b> ，即一(b- a)< In b- In a,In b- In a b令 a= 2n-2 (b> a> 0)的应用2 In b- In a< In5- In3,2< In7- ln5,L ,5 72(n+1)-1 a> 0时,2 2a + b >2b- a，即 InbIn b- InaIna「4),,'a2 + b2令 b = n + 1,a = n,则 ln(n + 1)- lnn>近 =n2 + (n+ 1)2 ■. 2n2 + 2n+ 1.2>,2n2 + 2n+ 2an，易证 & ：： In n 1 .a + b b- a2.3 > (b> a> 0)的应用2 In b- In a'1 1例4设数列：an f的通项an = 1 ■-2 31，证明：an ：： In 2n 1 . na + b b - a解析 根据b> a> 0时， > ，即inb- Ina>2 In b- In a2(b- a)a+ b令 b = 2n + 1,a =2n- 1,则 In(2n+ 1)- In(2n-11) > ，易证 an :: In 2n 1 .n2.4b- a>Inb- Ina2^(b> a> 0)的应用b5 ( 2010年湖北)已知函数 f (x)= ax +c(a> 0)的图象在点(1, f (1))处的切线方程为y = x-1.(1)用a表示出b, c ；(2)(略)(3)证明:1 11+ + —+ L +2 3In(n + 1)+2(^(n?1).解析(1)b = a- 1,c = 1 -2a ；(3)当b>a>0时，上亘>Inb- Ina1 2 1 ，即 in b- In a < 丄2 + a b1 +2?ft + n + 1卓1骣 令 a = n,b = n + 1,则 In (n + 1)- Innv1骣1 .1骣所以 In 2- In1 <+ _ 訓3-ln2< -2桫2 j2桫+典，ln(n+ 1)- ln1骣n< 2桫将以上各不等式左右两边分别相加得:ln(n +1)< 2+?12(n+ 1),即 ln(n+ 1)< 1 +12(n+1) 2’故 1+1+1 +2 3ln(n+ 1)+2(n+ 1)(1)(2)(2013年新课标I)已知函数f X =ln 1 X若x _ 0时，f x < 0,求’的最小值;设数列' an』的通项an=1 * 1 1 JH1，证明:3 n1a2nfn 石1n2解析(1)易得x 0时，f x 0, f x是增函数,f x f 0 = 0,不符合题意；若2(1 X)令f x二0,则若’-121 1—2&0 ，则当0^x 时，f x • 0, f x是增函数，f x • f 0i = 0,不符合题意;2，则当x 0时，「X ::: 0, f x是减函数，f x乞f 0二0,符合题意;综上,、 1的最小值是2-(2)+ 1 主b- a),当b > a > 0时，一匕卫 >Inb- Ina令 a = n,b= n + 1,则ln(n+1)- i nn<2 桫所以 ln(n + 1)- 1 nn<*普 +ln(n +2)- In(n + 1)<1骣1 +2?桫+1 +ln(n +3)- In(n+ 2)ab(b>a>0)的应用一 1(2014 福建预赛)已知 f(x)=aIn(x，1) 3x T .(1)(略)(2)求证:2 3 4 n 1 1E 川Vn 2n 1对一切正整数n均成立.解析(2)根据b> a> 0时,b- a > 局，即 In b- lna< b=a, In b- Ina , ab令 b = 2n + 1,a= 2n- 1,则 In (2n +1)- In(2n- 1)<24n2- 1变形可得：-1轾(2n+ 1)- In(2n- 1)< ——74n - 1n+ 1E则1 2 14(ln3- " 1)<^^,-(In5- "3)<34? 22 1丄，1 轾(2n+ 1)- In(2n- 1)