(完整版)圆的证明与计算(精编版)（精编版）.docx

《圆的证明与计算》专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键圆的有关证明一、圆中的重要定理 :(1) 圆的定义 : 主要是用来证明四点共圆 .(2) 垂径定理 : 主要是用来证明——弧相等、 线段相等、 垂直关系等等.(3) 三者之间的关系定理 : 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等 .(4) 圆周角性质定理及其推轮 : 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等 .(5) 切线的性质定理 : 主要是用来证明——垂直关系 .(6) 切线的判定定理 : 主要是用来证明直线是圆的切线 .(7) 切线长定理 : 线段相等、垂直关系、角相等 .2. 圆中几个关键元素之间的相互转化 : 弧、弦、圆心角、 圆周角等都可以通过相等来互相转化 . 这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现 , 第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积） ；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比） 知识点一：判定切线的方法：（ 1）若切点明确，则“连半径，证垂直” 。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（ 2）若切点不明确，则“作垂直，证半径” 常见手法： 角平分线定理； 等腰三角形三线合一， 隐藏角平分线； 总而言之， 要完成两个层次的证明： ①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直在证明中的关键 是要处理好弧、 弦、角之间的相互转化 , 要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线 . 例：方法一：若直线 l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连 OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连半径，证垂直” ，难点在于如何证明两线垂直 .例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD延长线于 F.求证： EF与⊙ O相切.例 2 如图，AD是∠ BAC的平分线， P 为 BC延长线上一点， 且 PA=PD.求证： PA与⊙ O相切.证明一： 作直径 AE，连结 EC.∵AD是∠ BAC的平分线，∴∠ DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠ 2=∠1+∠DAC.∵∠ 2=∠B+∠DAB，∴∠ 1=∠B.又∵∠ B=∠ E，∴∠ 1=∠E∵AE是⊙ O的直径，0∴AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90.0∴∠ 1+∠EAC=90.即 OA⊥PA.∴PA与⊙ O相切.证明二： 延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE.∵AD是∠ BAC的平分线，∴B⌒E=⌒CE，∴OE⊥ BC.0∴∠ E+∠ BDE=90.∵OA=O，E∴∠ E=∠ 1.∵PA=PD，∴∠ PAD=∠PDA.又∵∠ PDA=∠ BDE,0∴∠ 1+∠ PAD=90即 OA⊥PA.∴PA与⊙ O相切说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 .例 3 如图， AB=AC，AB是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D，DM⊥AC于M求证： DM与⊙ O相切.0例 4 如图，已知：AB是⊙ O的直径，点 C在⊙ O上，且∠ CAB=30，BD=O，B D在 AB的延长线上 .求证： DC是⊙ O的切线2例 5 如图， AB是⊙ O的直径， CD⊥ AB，且 OA=ODOP.求证： PC是⊙ O的切线.例 6 如图， ABCD是正方形， G是 BC延长线上一点， AG交 BD于E，交 CD于 F.求证： CE与△ CFG的外接圆相切 .分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形， 圆心在斜边 FG的中点，为此我们取 FG的中点 O，连结 OC，证明 CE⊥OC即可得解 .证明： 取 FG中点 O，连结 OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥ CD，△ CFG是 Rt△∵O是 FG的中点，∴O是 Rt△ CFG的外心 .∵OC=O，G∴∠ 3=∠G，∵AD∥ BC，∴∠ G=∠4.∵AD=CD， DE=D，E0∠ADE=∠ CDE=45，∴△ ADE≌△ CDE（SAS） ∴∠ 4=∠1，∠ 1=∠3.0∵∠ 2+∠ 3=90 ,0∴∠ 1+∠ 2=90 . 即 CE⊥ OC.∴ CE与△ CFG的外接圆相切方法二：若直线 l 与⊙ O 没有已知的公共点，又要证明 l 是⊙ O的切线，只需作 OA⊥ l ，A 为垂足，证明 OA 是⊙ O的半径就行了，简称： “作垂直；证半径” ( 一般用于函数与几何综合题）例 1：如图， AB=AC， D为 BC中点，⊙ D与 AB切于 E点.求证： AC与⊙ D相切.分析： 说明： 证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明 DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关 .例 2： 已知：如图， AC， BD与⊙ O 切于 A、B，且 AC∥ BD，若∠ COD=900.求证： CD是⊙ O的切线.证明一： 连结 OA，OB，作 OE⊥CD，E 为垂足.∵AC，BD与⊙ O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，0∴∠ 1+∠2+∠3+∠4=180 .0∵∠ COD=90，0 0∴∠ 2+∠ 3=90 ，∠ 1+∠4=90 .0∵∠ 4+∠ 5=90 .∴∠ 1=∠ 5.∴Rt △AOC∽Rt △BDO.∴ ACOBOC .OD∵OA=O，B∴ ACOAOC .OD0又∵∠ CAO∠= COD=90，∴△ AOC∽△ ODC，∴∠ 1=∠ 2.又∵ OA⊥ AC， OE⊥ CD,∴OE=OA.∴E 点在⊙ O上.∴CD是⊙ O的切线.证明二： 连结 OA，OB，作 OE⊥ CD于 E，延长 DO交 CA延长线于F.∵AC，BD与⊙ O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠ F=∠ BDO.又∵ OA=O，B∴△ AOF≌△ BOD（ AAS）∴OF=OD.0∵∠ COD=90，∴CF=CD，∠ 1=∠ 2.又∵ OA⊥ AC， OE⊥ CD，∴OE=OA.∴E点在⊙ O上.∴CD是⊙ O的切线.证明三： 连结 AO并延长， 作 OE⊥ CD于 E，取 CD中点 F，连结 OF.∵AC与⊙ O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙ O相切于 B，∴AO的延长线必经过点 B.∴AB是⊙ O的直径.∵AC∥BD，OA=O，B CF=DF，∴OF∥AC，∴∠ 1=∠ COF.0∵∠ COD=90，CF=DF，∴ OF1 CD2CF .∴∠ 2=∠ COF.∴∠ 1=∠ 2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙ O上.∴CD是⊙ O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠ 1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠ 1=∠ 2. 证明三是利用梯形的性质证明∠ 1=∠ 2，这种方法必需先证明 A、O、B 三点共线 .课后练习：DO（1） 如图， AB是⊙ O的直径， BC⊥ AB，AD∥ OC交⊙ O于 D点，求C证： CD为⊙ O的切线；A B（2） 如图，以 Rt△ ABC的直角边 AB为直径作⊙ O，交斜边 AC于CD，点 E 为 BC的中点，连结 DE，求证： DE是⊙ O的切线.D EA O B（3） ）如图，以等腰△ ABC的一腰为直径作⊙ O，交底边 BC于A D，交另一腰于 F，若 DE⊥ AC于 E（或 E为 CF中点），求证： DE是O⊙ O的切FE线. B D C（4） ）如图， AB是⊙ O的直径， AE平分∠ BAF，交⊙ O于点 E，过点 EA作直线 ED⊥AF，交 AF的延长线于点 D，交 AB的延长线于点 OC，求证：CD是⊙ O的切线.B FC E D知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比， 通常与勾股定理、 垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

分析时要重点 注意观察已知线段间的关系， 选择定理进行线段或者角度的转化 特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求 线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题其中重要而 常见的数学思想方法有：（ 1） 构造思想 ：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理” 基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长） ；射影定理： 所谓射影，就是正投影 其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足， 叫做这点在这条直线上的正投影 一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段， 叫做这条线段在这直线上的正投影由三角形相似的性质： 直角三角形中， 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项公式 Rt△ABC中, ∠BAC=90 ,AD 是斜边 BC上的高 , 则有射影定理如下: ：(1)(AD)2;=BDDC, (2)(AB)2;=BDBC , ( 3)(AC)2;=CDBC 等积式 (4)ABXAC=BCXAD可( 用面积来证明 )③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型（已知线段长度） ；⑤构造三角函数 ( 已知有角度的情况） ;○6 找不到，找相似（2） 方程思想：设出未知数表示关键线段， 通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

3） 建模思想： 借助基本图形的结论发现问题中的线段关系， 把问题分解为若干基本图形的问题。