高二数学教案：23《圆的切线的性质及判定定理》（新人教A版选修4-1）.doc

三圆的切线的性质及判定定理课标解读1.掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题．2.掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切.1．切线的性质定理及推论图2－3－1(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图2－3－1，AB切⊙O于点A，那么OA⊥AB.(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的直径〞这句话对吗？为什么？【提示】　正确．如图AB、CD分别切⊙O于E、F，连接EO并延长交CD于F′，∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′为切点，∴F′与F重合，即EF是⊙O的直径．2．判定直线与圆相切共有哪几种方法？【提示】　判定直线与圆相切共有三种方法：(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．3．从圆的切线的性质定理及推论，你能得出怎样的结论？【提示】　分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备以下三个条件中的任意两个，就可以推出第三个．①垂直于切线；②过切点；③过圆心．于是在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径．圆的切线性质的应用图2－3－2　如图2－3－2所示，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)假设AD＝2，AC＝，求AB的长．【思路探究】　(1)要证OC∥AD，只需证明OC⊥CD.(2)利用△ADC∽△ACB可求得．【自主解答】　(1)如下图，连接BC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD.(2)∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ACB.∴＝，∴AC2＝AD·AB.∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.1．利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关系．2．常作的辅助线：(1)连接切点与圆心的半径．(2)构造直径所对的圆周角．如图2－3－3，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E.求证：DE⊥AC.图2－3－3【证明】　如图，连接OD、AD.∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，即△ABC为等腰三角形，∴AD为BC边上的中线，即BD＝DC.又OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC.∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.圆的切线的判定　如图2－3－4，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．图2－3－4【思路探究】　利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直线垂直．【自主解答】　如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3，∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.1．解答此题的关键是证明OE⊥CD，而AD⊥CD，故只需证明OE∥AD.2．判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法(1)如果这条直线与圆有公共点，那么连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直〞；(2)假设题目未说明这条直线与圆有公共点，那么过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径〞．图2－3－5　(2021·洛阳模拟)如图2－3－5，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？【解】　如题图，过E作EF⊥CD于F，∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠A＝∠B＝90°，∴AE＝EF＝BE＝AB.∴以AB为直径的圆的圆心为E，∴EF是圆心E到CD的距离，且EF＝AB，∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系.圆的切线性质和判定定理的综合应用　如图2－3－6，AB为⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.图2－3－6(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)假设DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．【思路探究】　(1)利用圆的切线判定定理证明．(2)作DG⊥AB于G，利用△ADG∽△AFB求解．【自主解答】　(1)连接OD，∵D是中点．∴∠1＝∠2.∵OA＝OD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OD∥AE.∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．(2)过D作DG⊥AB，∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3.在Rt△ODG中，OG＝＝4，∴AG＝4＋5＝9.∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.∴△ADG∽△AFB，∴＝.∴＝，∴BF＝.1．解答此题(2)的关键是作出辅助线DG⊥AB于G，然后利用三角形相似求解．2．对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．　如图2－3－7，A是 ⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝OB.图2－3－7(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)假设∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长．【解】　(1)证明：如图，连接OA，∵OC＝BC，AC＝OB，∴OC＝BC＝CA＝OA，∴△ACO为等边三角形，∴∠O＝60°，∴∠B＝30°，∴∠OAB＝90°，∴AB为⊙O的切线．(2)作AE⊥CD于点E，∵∠O＝60°，∴∠D＝30°.又∵∠ACD＝45°，AC＝OC＝2，∴在Rt△ACE中，CE＝AE＝，在Rt△ADE中，∠D＝30°，∴AD＝2，∴DE＝.∴CD＝DE＋CE＝＋.(教材第32页习题2.3第3题)如图2－3－8，AB是 ⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线．图2－3－8(2021·江苏高考)图2－3－9如图2－3－9，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.【命题意图】　考查圆的切线性质、相似三角形的判定与性质．考查推理论证能力及分析问题、解决问题的能力．【证明】　连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以＝.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.1．AB是⊙O的切线，能确定CD⊥AB的条件是(　　)A．O∈CD　　　　　　　B．CD过切点C．O∈CD，且CD过切点 D．CD是⊙O的直径【解析】　由切线的性质定理知，选项C正确．【答案】　C2.图2－3－10如图2－3－10所示，直线l与⊙O相切，P是l上任一点，当OP⊥l时，那么(　　)A．P不在⊙O上B．P在⊙O上C．P不可能是切点D．OP大于⊙O的半径【解析】　由切线性质定理的推论1，经过圆心O垂直于切线l的直线必过切点，故P为切点，应选B.【答案】　B图2－3－113．如图2－3－11，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，假设∠A＝40°，那么∠APB等于(　　)A．25°　　　　　　　B．20°C．40° D．35°【解析】　如图，连接OP，∵AP为圆O的切线，∴∠OPA＝90°，∵∠A＝40°，∴∠AOP＝90°－40°＝50°.∵OP＝OB，∴∠OPB＝×(180°－50°)＝65°.∴∠APB＝∠OPA－∠OPB＝90°－65°＝25°.【答案】　A4．如图2－3－12，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，BC为半圆的切线，且BC＝4，那么点O到AC的距离OD＝________.图2－3－12【解析】　如图，∵BC为半圆的切线，∴AB⊥BC.又∠BAC＝30°，∴∠C＝60°.设AC交半圆O于E，连接BE，那么BE⊥AC，∴∠CBE＝30°，∴EC＝BC＝2，∴BE＝＝＝6，∴OD＝BE＝3.【答案】　3一、选择题1．以下说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有(　　)A．①②　　　　　　　B．②③C．③④ D．①④【解析】　根据切线的定义及判定定理知③④正确．【答案】　C2．AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D，AB＝6，BC＝8，那么BD等于(　　)A．4　　　B．4.8　　　C．5.2　　　D．6【解析】　∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴AB⊥CB，BD⊥AC.∵AC＝＝10，∴BD＝＝＝4.8.【答案】　C图2－3－133．如图2－3－13所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E、F、G，点P是弧EG上的任意一点，那么∠EPF＝(　　)A．120° B．90°C．60° D．30°【解析】　如下图，连接OE、OF.∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°.∴∠EOF＋∠ABC＝180°.∴∠EOF＝120°.∴∠EPF＝∠EOF＝60°.【答案】　C图2－3－144．如图2－3－14所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，假设AD∶AC＝1∶2，那么AO∶OB＝(　　)A．2∶1 B．1∶1C．1∶2 D．1∶1.5【解析】　如下图，连接OD、OC，那么OD⊥AC.∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.∵OB＝OD，OC＝OC，∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC.∵＝，∴AD＝DC.∴BC＝AC，又OB⊥BC，∴∠A＝30°，∴OB＝OD＝AO，∴＝.【答案】　A二、填空题5.图2－3－15(2021·开封模拟)如图2－3－15，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB、AC相切，切点分别为E、C.那么⊙O的半径是________．【解析】　连接OE，设OE＝r，∵OC＝OE＝r，BC＝12，那么BO＝12－r，AB＝＝13，由△BEO∽△BCA，得＝，即＝，解得r＝.【答案】　6．(2021·广东高考)图2－3－16如图2－3－16所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，那么PA＝________.【解析】　连。