巧用向量法探究直线x0x+y0y=r2的实质.doc

1巧用向量法探究直线巧用向量法探究直线 x0x+y0y=r2的实质的实质------对《圆的切线方程 x0x+y0y=r2的教学尝试》的改进 宋宝琴 南京市江宁高级中学 2111002005 年 11 月底，笔者在带领高三学生复习《直线与圆》一节内容时，学习了 贵刊 2000 年第 6 期刊登的许卫华的《圆的切线方程 x0x+y0y=r2的教学尝试》的文 章，深受启发，在教学中就引用了他的教学设计但在课堂中经师生讨论后，发现 用向量的观点解决其中的问题更为简捷是以草就此文，以就教于方家 （一）探究（一）探究 x0x+y0y=r2的实质的实质 结论结论 1：：已知圆的方程为 x2+y2=r2，则经圆上一点 M（x0，y0）的切线方程为 x0x+y0y=r2证明：在切线 上任取一点 P（x,y） （异于 M 点） ，则，即lMPOM 0MPOM0)(OMOPOM, 22rOMOPOM而,),(00yxOM ),(yxOP x0x+y0y=r2，经检验点 M（x0，y0）也适 合， 经圆上一点 M（x0，y0）的切线方程为 x0x+y0y=r2 图 1 结论结论 2：：已知 M（x0,y0）为圆 x2+y2=r2外一点，过 M（x0,y0）作圆的两条切线 MA，MB，切点分别为 A，B，试证明直线 AB 的方程为 x0x+y0y=r2 证明：设直线 AB 上异于 A 点的任一点P（x,y）ABPABOM,Q，即，0APOM0)(OAOPOM即，因为 M 点是以OAOMOPOMA 为切点的切线上的一点，由结论 1 知，2rOAOM，经检验 A 点也适合，2rOPOMo oMM P Px xy yO OA AB BMMx xy y2即直线 AB 的方程为 x0x+y0y=r2 图 2 结论结论 3：：若 M（x0,y0）在圆 x2+y2=r2内，过 M 点作两条弦 CD，EF 分别交圆于点 C，D，E，F，以 C，D 为切点的切线交于 A 点，以 E，F 为切点的切线交于 B 点， 则直线 AB 的方程为 x0x+y0y=r2 证明：直线 CD 是以 A 点引出的两条切线的切点弦，M 是其上一点，由结论 2 知2rOAOM同理： 2rOBOM，即0)(OBOAOMABOM 是直线 AB 上一点， PQAPOM 0)(OAOPOM即，2rOAOMOPOM即直线 AB 的方程为 x0x+y0y=r2图 3 由结论 1，2，3 可知，M 点在圆外，圆上，圆内时，其对应直线的向量条件均为且该直线均与 OM 直线垂直，同时，该直线的向量条件也不会因2rOPOM圆心的变化而出现结构上的变化，因此可得如下推论。

推论推论 1：：若 M（x0,y0）为圆 O1：（x-a）2+(y-b)2=r2上一点，则以 M（x0,y0）为切点的切线方程为（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2，向量形式即为（P 为2 11rPOMO直线上任一点） 推论推论 2：：若 M（x0,y0）为圆 O1：（x-a）2+(y-b)2=r2外一点，过 M（x0,y0）作圆的 两条切线 MA，MB，切点分别为 A，B，则切点弦所在直线 AB 的方程为（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2，向量形式为（P 为直线 AB 上任一点）2 11rPOMO推论推论 3：：若 M（x0,y0）为圆 O1：（x-a）2+(y-b)2=r2内一点，过 M 点作两条弦 CD，EF 分别交圆于点 C，D，E，F，以 C，D 为切点的切线交于 A 点，以 E，F 为切点的切线交于 B 点，则直线 AB 的方程为（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2，向量形式为（P 为直线 AB 上任一点）2 11rPOMO （二）结论的应用（二）结论的应用 例例 1：：如图，AB 是圆 O 的非直径弦，过 AB 中 点 P 作两弦 A1B1，A2B2，过 A1，B1分别作圆 O 的切线得到交点 C1，过 A2，B2分别作圆 OO OE EC CD DF FMMA AB Bx xy yO OA A2 2A A1 1B B1 1B B2 2P PC C1 1C C2 2x xy yA A B B3的切线得到交点 C2，求证：C1C2//AB证明：由平几知识知 ：ABOP 由结论 3 知： 图 421CCOP 因此 C1C2//AB 例例 2：：如图：已知圆方程 x2+y2=r2，P（x0,y0）为定圆外一点，过 P 作圆的两条切线 PT1，PT2，过 P 的圆的 任一割线交切点弦 T1T2于 R，交圆于 N，M 点，求证：|PM|， |PR|，|PN|的倒 数成等差数列。

证明：由切割线定理可知：，因此原命题2PTPNPM)(2PNPMPRPNPM图 5)2(221OPONOMPRPT])([222 1PRONOMOPPRPT因为OPPRPT21OROPOPOTOP22 1)(（因为）212112OTOROPOTOTOP21OTOROP0)(211211OTOPOTOTOTOP（ 证毕）11PTOT 教学研究无止境，本文是在许文的启发下，在师生的共同努力下形成的，不正 确之处敬请专家斧正参考文献：《圆的切线方程 x0x+y0y=r2的教学尝试》2005 年 12 月 9O OT T2 2T T1 1P PMMN NR Rx xy y。