第26章帕斯卡定理.doc

第26章帕斯卡定理帕斯卡()定理设内接于圆（与顶点次序无关，即无需为凸六边形），直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，则、、三点共线．①证法l设直线与交于点，直线与交于点．直线与交于点．对及截线、、分别应用梅涅劳斯定理，有，，．将上述三式相乘，并运用圆幂定理，有，．．从而，其中、、分别在直线、、上．对应用梅涅劳斯定理的逆定理，知、、三点共线．证法2设过、、的圆交直线于点，交直线于点．连接、，则与相补（或相等）．又与相等，从而与相补或相等，即知．飘理，，．于是，与为位似图形．由于位似三角形三对对应顶点的连线共点（共点于位似中点），这里，直线与交于点，则另一对对应的点、的连线也应过点，故，、三点共线．证法3连、，过分别作上于，作于，作于，过分别作于，作于．则．同理，．注意到，，，．所以，即，于是有．连、，则、、、及、、、分别四点共圆，从而，亦即有，故、、三点共线．证法4如图，连、、．在圆内接四边形中，有与相等；在圆内接四边形中，有与相等或相补；在圆内接四边形中，与相补或相补．故可以在的边上或其延长线上取一点，使，．从而，．设与相交于另一点，则，．所以与相等或相补．故、、三点共线．又于是，知、、、四点共圆．所以， (或 (或)．从而、、三点共线．故、、三点共线．注：此定理中，当内接于圆的六边形的六顶点改变其宇序，两两取对边、、、、、共有60种不同情形，相应有60条帕斯卡直线．六个取定的点，有15条连线，相交产生另外45个点，这些点中每一点有4条帕斯卡线．这些帕斯卡线，每3条共点，产生20个其他的点，称为斯坦纳点，每条线上一个，而且这些帕斯卡线，每3条共点，还产生其他60个点，称为寇克曼点，每3个在一条直线上．20个斯坦纳点在15条其他直线上，每条线上4个点．60个寇克曼点在20条其他直线上，每条线上3个． 单墫译．[美]约翰逊．近代欧式几何学．上海：上海教育出版社，2000；208．当六边形中有两顶点重合，即对于内接于圆的五边形，亦有结论成立；圆内接五边形中（与重合）处的切线与的交点、与的交点、与的交点三点共线，如图 (1)．当六边形变为四边形或等时，如图 (2)、(3)，结论仍成立．当六边形变为三角形时，三组边、、变为点，如图 (4)，仍有结论成立．此时三点所共的线也称为莱莫恩线（参见第10章性质19）．下面从四个方面看一些应用的例子．1．指出在圆上的六点应用帕斯卡定理例1如图，过的顶点、、各作一直线使之交于一点而交外接圆于、、．又在外接圆上任取一点，则、、与、、对应的交点、、三点共线．证明在圆内接六边形中，其三双对边与、与、与的交点分别为、、，由帕斯卡定理知、、三点共线．在圆内接六边形中，其三双对边与、与、与的交点务别为、、，由帕斯卡定理知、、三点共线．故、、三点共线．例2（预选题）已知为确定的三角形，，，分别为边、、的中点．为外接圆上的动点，、、分别与的外接圆交于另外的点、、．若、、、、、是不同的点，则直线、、交出一个三角形．证明：这个三角形的面积不依赖于点．证明如图，设、、是直线、、交出的三角形的三个顶点．下面，我们证明有，这便可说明的面积不依赖于点的选取．注意到图中的圆内接六边形，由帕斯卡定理，知三双对边与、与、与的交点、、三点共线，即知点在的中位线上．类似地，可证点、分别在直线、上．由，得，有．同理，由，有．从而，于是．故．2．作出一些点构成圆上六点应用帕斯卡定理例3（2004年国家队培训题）设与的外接圆内切并与边、相切的圆为，记为圆的半径，类似地定义、，是的内切圆半径，证明：． 证明如图，设圆与、、的外接圆分别切于点、、，设、分别为、中点，为的内心．这时，为圆与的位似中心，且过的切线平行于，因而、为一双对应点，于是、、三点共线．（也可设直线交于，则证得为的中点．）同理，、、三点共线．而、分别为、的平分线，则知其交点为．注意到圆内接六边形，由帕斯卡定理知、、三点共线．记圆的圆心为，由，有．同理，，．由有．因此．故．例4（2007年国家集训队测试题）凸四边形内接于圆，与边相交的一个圆与圆内切，且分别与、相切于点，．求证：的内心与的内心皆在直线上．证明如图，设圆的圆心为，与相交且与相内切的圆的圆心为，切点为，显然、、三点共线．设与交于点，直线交于，直线交于，交于，直线交于．这时，存在一个以点为位似中心的位似变换使得变为，因此，，，直线变为过点且平行于的的切线，所以为的中点．由，有，即．①又及截线应用梅涅劳斯定理，有，即．②又．又①、②、③知，即知是弧的中点．显然，的内心为与的交点．注意到圆内接六边形，由帕斯卡定理，知、、三点共线．所以的内心在上．同理，的内心也在上．3．证明六点共圆应用帕斯卡定理例5（2005年国家集训队测试题）如图，点在内部，点在边、、上的射影分别为、、，过点分别作直线、的蚕线，垂足分别为、．求证：、、三线共点．证明由题设，有，从而，、、、、、六点都在以为直径的圆上．于是，对于圆内接六边形，它的三组对边与、与、与的交点分别为、、，由帕斯卡定理，知、、三点共线，从而点在上．故、、三线共点．例6（2002年澳大利亚国家数学竞赛题）已知为锐角三角形，以为直径的分别交、于点、．分别过和作的两条切线交于点，分别过和作的两条切线交于点．证明：点段上．证明如图，设与、与、与分别交于、、，连接、、、、、．则，由此知、、、四点共圆．又是的切线，于是．同理，．因此，、、、在以为直径的圆上，即、、、、、六点共圆．在这个圆内接六边形中，应用帕斯卡定理，三双对边与、与、与的交点、、共线．故点段上．4．注意特殊情形时帕斯卡定理的应用例7（2005年第18届韩国数学奥林匹克题）在中，，．是的外接圆的圆心，、是的两条切线，切点分别为、．设，，，，又设是上的点，且使得，是与的交点，是与的交点，令．证明．证明如图，设的延长线与过点的的切线交于点，对应用帕斯卡定理，知、、三点共线，从而与重合．因此，点、的位置如图所示．由切割线定理，有，，即．设与交于点，对及截线、分别应用梅涅劳斯定理，有，．由上述三式并注意相交弦定理：，则有．练习题二十六1．点在的外接圆上，是任意一点，直线，，分别交外接圆于点，，证明：直线和，和，和的交点在过点的一条直线上．2．已知和某个点，设和是由点分别向直线和引垂线的垂足，而和是由点分别向直线和引垂线的垂足．证明：直线和的交点在直线上．3．四边形内接于圆中，是任意一点，和是直线和与圆的第二个交点．直线和，和相交于点和．证明：直线和的交点在直线上．4．四边形内接于，点使得．证明：四边形对角线的交点在直线上．5．点和在的内部，且关于对称，射线和共线，射线和也共线（其中点，，，均在上）．证明：直线和的交点在直线上．6．点，，，在圆上，而点，，，分别在直线，，，上，且满足，，．证明：．7．（试题，去掉了条件）设在中，有一圆内切于的外接圆，且与和分别切于点和．证明：点和连线的中点是的内切圆圆心．8．（2005年捷克—波兰—斯洛伐克竞赛题）设凸四边形的外接圆和内切圆的圆心分别为、，对角线、相交于点．证明：、、三点共线．9．(2006年第9届香港数学奥林匹克题)凸四边形的外接圆的圆心为，已知，与交于点．若为四边形内部一点，使得，求证：、、三点共线．10．（2003年国家集训队培训题）在等腰直角中，，，为的中点，、为上另两点，为的外接圆和的外接圆的另一个交点；为直线与的外接圆的另一个交点；为直线与的外接圆的另一个交点，求的长度．11．(2009年国家集训队测试题)在凸四边形中，与的外角平分线分别是边与，，分别为，的延长线上的点，且，，，四点共圆．平面上的一点使得是的外角平分线，是的外角平分线．边与所在直线交于点．求证：点在边上的充分必要条件是点段上．。