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关于应用随机过程的材料.pdf

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    • 12014 应用随机过程讲义应用随机过程讲义(第一次修订稿)(第一次修订稿) 授课教师:郭志军(授课教师:郭志军(2014,2)) 【前言】本讲义系仓促成稿,错漏之处在所难免;请读者不 吝赐教! (联系方式:【前言】本讲义系仓促成稿,错漏之处在所难免;请读者不 吝赐教! (联系方式:zijunyxq@.)讲义成稿前历经)讲义成稿前历经 07 数学与应用数学、数学与应用数学、07、、08、、09、、10 统计学等专业同学使 用;讲义的编写参考了许多国内外中、英文资料,在此不再 一一列出!统计学等专业同学使 用;讲义的编写参考了许多国内外中、英文资料,在此不再 一一列出! 【参考阅读书目】【参考阅读书目】 1.《测度与概率》—严士健、刘秀芳,北京师范大学出版社《测度与概率》—严士健、刘秀芳,北京师范大学出版社 2.《应用随机过程》—《应用随机过程》—S.M.Ross(中译本) ,人民邮电出版社(中译本) ,人民邮电出版社 3.《应用随机过程》-林元烈,清华大学出版社《应用随机过程》-林元烈,清华大学出版社 4.《金融随机分析》-《金融随机分析》-Shreve(中译本) ,上海财经大学出版 社(中译本) ,上海财经大学出版 社 第一篇 概率论基础第一篇 概率论基础 §§1 概率测度与概率空间概率测度与概率空间 §§2 随机变量及其分布随机变量及其分布 §§3 数学期望与积分数学期望与积分 §§4 条件数学期望条件数学期望 §§5 概率测度变换概率测度变换 §§6 随机变量的收敛性随机变量的收敛性 第二篇 随机过程(第二篇 随机过程(1)) §§1 随机过程的基本概念、数字特征随机过程的基本概念、数字特征 §§2 泊松(泊松(Possion)过程)过程 §§3 更新过程更新过程 §§4 布朗(布朗(Brown)运动)运动 §§5 鞅鞅(Martingale) 第三篇 随机过程(第三篇 随机过程(2))——随机分析及其在金融、——随机分析及其在金融、 保险中的应用保险中的应用 §§1 简单被积函数的简单被积函数的 Ito(伊藤)积分(伊藤)积分 §§2 一般函数的一般函数的 Ito 积分积分 §§3Ito-Doeblin(伊藤(伊藤—德布林)公式德布林)公式 2§§4 多元随机分析多元随机分析 §§5 风险中性测度风险中性测度 §§6 金融衍生品——期权的定价金融衍生品——期权的定价 §§7 关于跳过程的随机分析关于跳过程的随机分析 §§8 无套利的寿险定价理论、模型无套利的寿险定价理论、模型 第一篇 概率论基础第一篇 概率论基础 §§1.概率测度与概率空间概率测度与概率空间 在概率论的发展早期,拉普拉斯(在概率论的发展早期,拉普拉斯(Laplace)给出了概率 的古典定义;但随着概率论研究范围的扩大,古典定义的局 限性也凸显出来。

      人们通过对“事件”和“概率”的长期研 究发现:事件的运算与集合的运算完全类似, “概率”也与 “测度”有着完全相同的性质给出了概率 的古典定义;但随着概率论研究范围的扩大,古典定义的局 限性也凸显出来人们通过对“事件”和“概率”的长期研 究发现:事件的运算与集合的运算完全类似, “概率”也与 “测度”有着完全相同的性质 19 世纪以后,数学界广泛流行着公理化浪潮,它们主张 把最基本的假定公理化,其它结论则由这些公理演绎导出 这种背景下,出现了诸多的概率论的公理化结构,其中广泛 被接受的是世纪以后,数学界广泛流行着公理化浪潮,它们主张 把最基本的假定公理化,其它结论则由这些公理演绎导出 这种背景下,出现了诸多的概率论的公理化结构,其中广泛 被接受的是 1933 年前苏联的柯尔莫哥洛夫(年前苏联的柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov) 提出的公理化结构,从而使概率论成为严谨的数学分支 提出的公理化结构,从而使概率论成为严谨的数学分支 所谓所谓公理化的概率论公理化的概率论,其实就是测度论式的概率论,是 建立在集合论与测度论基础上的概率论其实就是测度论式的概率论,是 建立在集合论与测度论基础上的概率论。

      一、 事件域(事件一、 事件域(事件σ-代数)代数) 用概率度量事件发生的可能性时,希望用简单事件的概率来 推算复杂事件的概率;那么一般情况下,用概率度量事件发生的可能性时,希望用简单事件的概率来 推算复杂事件的概率;那么一般情况下, 1.是否对任何基本事件都能给出概率?是否对任何基本事件都能给出概率? 2.当给出基本事件的概率后,是否可推算出其它事件的概 率?当给出基本事件的概率后,是否可推算出其它事件的概 率? 对于可列样本空间对于可列样本空间Ω,结论是肯定的;但对一般的样本 空间, 答案却是否定的 因为几何概型只对,结论是肯定的;但对一般的样本 空间, 答案却是否定的 因为几何概型只对Ω的可测子集 (即的可测子集 (即: 有长度、 有面积、 有体积) 有定义, 而可测集远不能穷尽有长度、 有面积、 有体积) 有定义, 而可测集远不能穷尽Ω的 一切子集 这样, 一方面我们不必把的 一切子集 这样, 一方面我们不必把Ω的一切子集作为事件; 另一方面,又必须把的一切子集作为事件; 另一方面,又必须把“感兴趣”的事件“感兴趣”的事件都包括进来;比如: 若都包括进来;比如: 若A ⊂ Ω是事件,则是事件,则A(或(或cA)也应是事件;若)也应是事件;若,A B是事件, 则是事件, 则ABU也应是事件, 当然也要考虑可列并的情形; 此外,也应是事件, 当然也要考虑可列并的情形; 此外,Ω作作3为事件应是必然事件。

      我们把事件的全体记为为事件应是必然事件我们把事件的全体记为F,则其应满 足:,则其应满 足:1))FΩ∈;;2)若)若AF∈,则,则AF∈;;3)若)若{},1nA nF≥⊂,即:,即: 1,nnAF∀ ≥∈,则,则1n nAF∞=∈U(或(或1n nAF≥∈U) ;则) ;则F为为Ω上的一个上的一个σ-域;在概率论中, 称域;在概率论中, 称F为为事件域事件域 (或(或事件事件σ-代数代数) 二元序偶) 二元序偶(),FΩ 称为称为可测空间可测空间,,F中的元素即中的元素即Ω的可测子集称为的可测子集称为F-可测集可测集即即 随机事件随机事件 可以验证:可以验证:F关于至多可列次的关于至多可列次的 Borel 运算运算(并、交、 差、逆或余和对称差等)运算封闭可以想见,事件域(并、交、 差、逆或余和对称差等)运算封闭可以想见,事件域F是 个相当广泛的集类, 可以包含我们感兴趣的一切事件; 例如:是 个相当广泛的集类, 可以包含我们感兴趣的一切事件; 例如: 1)){},F = Φ Ω————Ω上的最小上的最小σ-域;域;2))2FΩ=或或 {}FA A=⊂ Ω————Ω上的最大上的最大σ-域;域;3)){}, , ,FA A= ΦΩ——由——由A生成的生成的σ-域,记作:域,记作:( )Aσ。

      一般情况下,对于(至多)可列样本空间,总是取它的 一切子集作为事件域;对于不可列(连续)样本空间,总是 取它的一切可测子集作为事件域一般情况下,对于(至多)可列样本空间,总是取它的 一切子集作为事件域;对于不可列(连续)样本空间,总是 取它的一切可测子集作为事件域 二、 概率测度二、 概率测度 在概率的公理化定义中,概率的存在性是公设;概率作 为定义于可测空间在概率的公理化定义中,概率的存在性是公设;概率作 为定义于可测空间(),FΩ上的一个集函数, 只规定了其应满足 的性质,并不具体地给出它的计算公式与方法上的一个集函数, 只规定了其应满足 的性质,并不具体地给出它的计算公式与方法 既然概率一般地可通过频率的稳定性与随机试验相联 系,自然概率应有与频率相类似的性质;频率具有非负性、 规范性与有限可加性,在一般场合还会涉及可列个事件的并 事件与极限事件,故要求概率具有可列可加性(又称完全可 加性或既然概率一般地可通过频率的稳定性与随机试验相联 系,自然概率应有与频率相类似的性质;频率具有非负性、 规范性与有限可加性,在一般场合还会涉及可列个事件的并 事件与极限事件,故要求概率具有可列可加性(又称完全可 加性或σ-可加性)也是合理的。

      可加性)也是合理的 【【概率(测度)概率(测度)与与概率空间概率空间】设】设(),FΩ为可测空间,为可测空间,P是定义 于是定义 于F上(或上(或(),FΩ上)的集(合)函(数) ,且满足:上)的集(合)函(数) ,且满足: 1((非负性非负性))( ),0AF P A∀ ∈≥;;2((规范性规范性或或正则性正则性))( )1P Ω =;; 3((可列可加性可列可加性)){},1nA nF≥⊂,且,且,ijij A A∀ ≠= Φ,则,则 ()111nnn nnnPAPAP A≥≥≥⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑U;则称;则称P为为F上(或上(或(),FΩ上)的概率测度(函数) ,简称概率;记作上)的概率测度(函数) ,简称概率;记作( )P A((( )Pr A或或( )Prob A) 三元) 三元4序对序对(),,F PΩ称作概率空间称作概率空间 概率空间即随机试验的数学模型:概率空间即随机试验的数学模型: 试验试验E →样本空 间样本空 间FΩuuuuuuuuur事件域可测空间可测空间(),FPΩuuuuuuuuuuuu r概率测度概率空间概率空间(),,F PΩ。

      【例【例 1.1.1】(】(Borel 集集) 设) 设(]{},,Rx xRΩ =Σ =−∞∈, 则, 则( )( )Rββσ==Σ,即由半直线集类,即由半直线集类Σ生成的生成的σ-域称为域称为 Borel 集类集类,,β中的集合称 为(一维)中的集合称 为(一维)Borel集 【例【例 1.1.1 的注】易知的注】易知, a bR∀∈,,(](](](),,,a bbaab= −∞− −∞===⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑UU2) 【) 【上连续性上连续性】设】设{},1nA nF≥⊂,且单调递减,则类似有,且单调递减,则类似有 ()()limlimnnnnPAP A →∞→∞=;; 3) 【) 【连续性连续性】若事件列】若事件列{},1nA n ≥的极限(事件)的极限(事件)limnnA →∞存在,则由数列上、下极限的性质有:存在,则由数列上、下极限的性质有:()()limlimnnnnPAP A →∞→∞= 【注【注 1】可以验证:下连续性】可以验证:下连续性⇔上连续性上连续性⇔连续性,故可统 称为连续性,故可统 称为概率的连续性概率的连续性;概率的有限可加性;概率的有限可加性+连续性连续性⇔可列可加 性。

      可列可加 性 【例【例 1.1.4】证明:条件概率】证明:条件概率( )P ⋅ ⋅在如下意义下“在如下意义下“连续连续” :如” :如 果果lim,limnnnnAABB →∞→∞==,且,且( )(),0nP BP B>,则,则()()limnnnP A BP A B →∞=;; 三、 条件概率三、 条件概率 设设(),,F PΩ为概率空间,为概率空间,( ),0BF P B∈>,,AF∀ ∈,令,令 ()( )() ( )BP ABP A BPAP B==, 称之为, 称之为A在在B之下或给定之下或给定B时时A的条件概率易知:的条件概率易知:()( )BPBP⋅=⋅是是(),FΩ上的上的概率测度概率测度,其满足:,其满足: 1))( ),0BAF PA∀ ∈>;; 2))( )1BPΩ =;; 63)){}()11,1,,,nijBnBn nnA nFij A APAPA∞∞==⎛⎞≥⊂∀ ≠= Φ=⎜⎟⎝⎠∑U;从而;从而(),,BF PΩ仍是一个概率空间,称为仍是一个概率空间,称为条件概率空间条件概率空间易见: a))()0BPΦ。

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