《素材》《数列的函数特性》（北师大版）题型最全的递推数列求通项公式的习题.doc

高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解例1. 已知数列满足，，求变式: 已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解例1:已知数列满足，，求例2:已知， ，求变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 类型3 （其中p，q均为常数，）解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解例:已知数列中，，，求.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：类型4 （其中p，q均为常数，）。

（或,其中p，q, r均为常数） 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决例:已知数列中，,，求变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）解法一（待定系数——迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式例:已知数列中，,,，求变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 2.已知数列中，,,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和类型6 递推公式为与的关系式或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。

例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列例:设数列：，求.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令 (Ⅱ)求数列(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解例：已知数列｛｝中，，求数列变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）已知数列（1）证明 （2）求数列的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。

例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝（1） 求数列｛an｝的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式3、已知数列{}满足时，，求通项公式4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式5、若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a． 类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 例：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列记（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和类型11 或解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解例：（I）在数列中，，求 （II）在数列中，，求类型12 归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式 类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例：已知数列中，；数列中，当时，,，求,.类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期例：若数列满足，若，则的值为___________变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则= （ ） A．0 B． C． D．。