2019年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题23 基本不等式及不等式应用 理.doc

专题23 基本不等式及不等式应用一、 考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．二、概念掌握及解题上的注意点： 1.利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1))对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2))条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 2.求解含参数不等式的求解策略(1))观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.(2))在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.三、高考考题题例分析： 例1.（2018天津卷） 已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为　　．【答案】例2.（2018江苏卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　　．【答案】9【解析】：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．例3.(2017山东卷)若，且，则下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B例4.(2017天津卷)若，，则的最小值为___________.【答案】4 【解析】: ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.例5.( 2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .【答案】30【解析】:总费用，当且仅当，即时等号成立.例6.(2015高考陕西卷)设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C例7.( 2015高考四川卷)如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【解析】:时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..基本不等式练习一、选择题1．“x≥1”是“x＋≥2”的 (　　)A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A　【解析】:x＋≥2⇔x＞0，所以“x≥1”是“x＋≥2”的充分不必要条件，故选A．2．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 (　　)A．80　　　　　　 B．77C．81 D．82【答案】C【解析】:∵x＞0，y＞0，∴≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 (　　)A．最大值0 B．最小值0C．最大值－4 D．最小值－4【答案】C　4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于 (　　)A．1＋ B．1＋C．3 D．4【答案】C【解析】:当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C．5．已知x，y＞0且x＋4y＝1，则＋的最小值为 (　　)A．8 B．9C．10 D．11【答案】B【解析】:∵x＋4y＝1(x，y＞0)，∴＋＝＋＝5＋≥5＋2＝5＋4＝9.6．已知a＞0，b＞0，则的最小值为 (　　)A．　　　　　 B．1C．2 D．4【答案】D　7．已知x＞1，y＞1，且lg x,2，lg y成等差数列，则x＋y有 (　　)A．最小值20 B．最小值200C．最大值20 D．最大值200【答案】B【解析】:由题意得2×2＝lg x＋lg y＝lg(xy)，所以xy＝10 000，则x＋y≥2＝200，当且仅当x＝y＝100时，等号成立，所以x＋y的有最小值200，故选B.8．设a＞0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为 (　　) A．16 B．9C．4 D．2【答案】C【解析】:在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号)，由题意知2＋1≥5.所以2≥4，≥2，a≥4.9.　要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)A．80元 B．120元C．160元 D．240元【答案】C【解析】：设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 (　　)A．60件 B．80件C．100件 D．120件【答案】B　11.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是 (　　)A．a≥ B．a＞C．a＜ D．a≤【答案】A【解析】:∵对任意x＞0，≤a恒成立，∴对x∈(0，＋∞)，a≥max，而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.12．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(－∞，6] D．[6，＋∞)【答案】D二、填空题13．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．【答案】[9，＋∞)　【解析】:∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴ab－2－3≥0，∴(＋1)(－3)≥0，∴≤－1(舍去)或≥3.即ab≥9.14.已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________. 【答案】2　【解析】:依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】8　【解析】:年平均利润为＝－x－＋18＝－＋18，∵x＋≥2＝10，∴＝18－≤18－10＝8，当且仅当x＝，即x＝5时，取等号．16．已知点P(a，b)在函数y＝上，且a＞1，b＞1，则aln b的最大值为________．【答案】e【解析】:　由点P(a，b)在函数y＝上，得ab＝e2，则ln a＋ln b＝2，又a＞1，b＞1，则ln a＞0，ln b＞0.令aln b＝t，t＞1，则ln t＝ln aln b≤＝1，当且仅当a＝b＝e时，取等号，所以1＜t≤e，所以aln b的最大值为e. 三、解答题17．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；(2)设00，∴y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.18．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．【答案】(1) 64， (2)18【解析】:　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，当且仅当x＝16且y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.19．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值. 【答案】(1) W(t) ＝ (2) W(t)的最小值为441万元．【解析】:　(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)＝(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．。