高中数学北师大必修2课时跟踪检测：八 直线与平面垂直的判定 Word版含解析.doc

2019学年北师大版数学精品资料课时跟踪检测（八） 直线与平面垂直的判定层级一　学业水平达标1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(　　)A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C　过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，cα，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直，故选C.2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)A．α∥β，且m⊂α　　　 B．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β解析：选B　A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.3．下列四个命题中，正确的是(　　)①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①② B．②③C．②④ D．③④解析：选D　①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)A．异面 B．平行C．垂直 D．不确定解析：选C　∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC.5．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面(　　 )A．有且只有一个 B．可能存在，也可能不存在C．有无数多个 D．一定不存在解析：选B　当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．6．在三棱锥V­ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的条件即可)解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)7．如图所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.又AP平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________． 解析：如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PD∩PA＝P，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.答案：49．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.10．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中．求证：BD1⊥平面AB1C. 证明：连接BD，则BD⊥AC.又∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理B1C⊥BD1.又AC∩B1C＝C, ∴BD1⊥平面AB1C.层级二　应试能力达标1．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能(　　 )A．平行　　　　　　　 B．相交C．异面 D．垂直解析：选A　∵直线l⊥平面α，∴l与α相交．又∵mα，∴l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是　　(　　)A．平面DD1C1C　　　　　　 B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB答案：B3．如图，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　 )A．A1D B．AA1C．A1D1 D．A1C1解析：选D　由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，mα，nβ⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是(　　 )A．①③ B．②④C．①④ D．②③解析：选C　①正确；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，也可能异面，因此②是错误的；对于③，直线n也可能位于平面α内，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β，得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．5．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若mα，nα，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n，故④正确．答案：①③④6．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为________．解析：∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥AA1.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB.又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1B1B.又AM平面AA1B1B，∴AM⊥BC.答案：垂直7．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.证明：设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BMα，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN与PM，BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM.8．如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥CD，AD⊥BC.求证：AC⊥BD.证明：过A作AG⊥平面BCD于G，连接BG，则AG⊥CD.又AB⊥CD，AG∩AB＝A，∴CD⊥平面ABG.∵BG平面ABG，∴CD⊥BG.连接DG，同理DG⊥BC，∴G是△BCD的垂心．连接CG，则CG⊥BD，又AG⊥BD，AG∩CG＝G，∴BD⊥平面ACG，又AC平面ACG，∴AC⊥BD.。