教培机构高中数学讲义][必修二 第3讲 平面的基本性质和推论]讲义-教师版 (3).docx

第3讲 平面的基本性质和推论1．了解平面的概念，会画并会表示一个平面2．会用三种语言表示空间点、线、面之间的位置关系3．掌握三个公理并会简单应用4．了解空间两条直线位置关系的分类标准5．理解异面直线的定义，并会求异面直线所成的角6．掌握公理4及定理，并会简单应用7．会判断并用三种语言表示空间中直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点)4．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．(重点、难点)5．理解平行公理(公理4)和等角定理．(重点)6．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(重点、易错点)7．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)8．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①　　　 　　　　图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l例1.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【答案】见解析【解析】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．图(1)　　　 　图(2)　 　 图(3)练习1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.【答案】见解析【解析】(1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．例2.已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．【答案】见解析【解析】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内．由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面．(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面．综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．练习1.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【答案】见解析【解析】已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．法一　∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．法二　由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内．同理可证c在a、l确定的平面α内．∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面．练习2.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点.【答案】见解析【解析】∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．证明点线共面常用的方法1．纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．2．重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．例3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．【答案】见解析【解析】∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1，又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．练习1.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.【答案】见解析【解析】∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．点共线与线共点的证明思路1．点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上．2．线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上．空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)2．空间两条直线的位置关系3．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⇒a∥c.4．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围： 0<θ ≤90 (3)当θ＝90 时，a与b互相垂直，记作a⊥b .例4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．【答案】①平行　②异面　③相交　④异面【解析】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”．同理，直线AB与直线B1C “异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．练习1. (1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则(　　)A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交 D．a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c(　　)A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线【答案】　(1)D　(2)C【解析】(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．例5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【答案】见解析【解析】(1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴M1M＝AA1且M1M∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二　由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.练习1.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.【答案】见解析【解析】(1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即。