专升本(国家)-专升本高等数学(二)分类模拟定积分.doc
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专升本高等数学(二)分类模拟定积分一.选择题1>设f(x)为［a, b］上的连续函数，则A・小于零 B.等于零 C.⑺%值等丁大于零D・不能确定2、(I arclanj^r)1^^.~T~1+/2A. arctanxB.C. arctanb-arctana D. 03、下列各式中止确的是drA.B.JOC.D.以上都不对4、变上限积分［诚是 A. f ' (x)是一个原函数 B. f ' (x)的全体原函数C. f(x)的一个原函数 D. f(x)的全体原函数1 im才一>05、极限设A. -0B. 0 C. 1D. 26、设』A. 2a2r(a>0,B. a2xlnaa^l),则f(x)等于 C. 2xa/x 1 D. 2a2xlna7、设函数f(x)在［0, 1］上连续，令t=2x,则［丿(2""厂等于 f/(M r 韻/(MA.B.c. 2『/(滋D.8、设函数f (x) =x'+x,则A. 0 B. 8 C. D. "/UM9、下列定积分等于零的是A.I j*2 cosjyZz J sinjyZr口 J-lB.C.^r + sin.r）^ ° J：（R + 才）必下列广义积分收敛的是A.L cos rcZrB.r+x 1丄加* x3C.D.填空题设g =］伽血则小 若/(刃=『4帀击,f ^/U) = farctan/d/> 则设f(x)在积分区间上连续,x2\J\x） 一/（一』）玲| \fcosjy£t定积分 2定积分r 4.- 22>求由方程W 一丄Jl+& =所确定的隐函数y=y(x)的微分dy设 计算下列定积分［力2；+严O fj si nr cos Jr h 1 + coZr23、24、计算25、计算26、27、28、si计一1) 一八― *r< °*e 一 I21 =01丄]cos2zdz.x> 0f川 试讨论f (x)在x=0处的连续性计用严 计算刁必e/r 计訥4一『计算下列定积分.Jjr + 1. M < L1 40、 求曲线y二x'和歹=庞所围成的平面图形的面积41、 求由抛物线y=l-x2及其在点（1, 0）处的切线和y轴所围成的平面图形的面积42、 求由曲线y=h和直线y=x, x=0, x=l所围成的平面图形的面积43、 求由曲线y=x及直线y=x-2所围成的平面图形的面积44、 求由直线y=2x, y=x, x=2, x=4所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积兀45、 （I）求由直线x=0, x=2, y=0及抛物线y=-x2+l所围成的图形的面积S； （II）求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转休的体积乂46、 曲线y=x',直线y=a, x=0及x=0及x=l围成一个'卜面图形，其中0WaWlI ）求图中阴影部分的面积S；（II ）问a为何值时，S的取值最小，并求出此最小值答案：一、选择题r AI f（jc}dx［解析］由定积分的定义口j知，定积分h- ‘ ，是一个数值，它仅与积分区间g, b］和被积函数f /V）eZr= f f{Mf（x）有关，而与积分变量符号无关，即人・ W ，所以［7u）d（r-£7（/）d/=0arctanjy/r是常数值.由于常数的导数等于零，所以2、D［解析］根据定积分的定义，定积分川arctan^yZr = 0ez d.r> e1 dr3、B［解析］在区间［0, 1］内，x>x2,，> ，根据定积分的单调性,4、C［解析］由变上限定积分求导定理, 的一个原函数。 得的加池=问,所以变上限积分5、C0［解析］用洛必达法则求0型未定式的极限，对分子、分母求导吋须用到变上限定积分求导定理，即 『血血 mt ,］im—— =1 im = 1右 Jit o6^ D［解析］等式两边同时对x求导4 ,由变上限定积分求导定理得f (x) =a2xlna - (2x) 1 =2a2xlnao 7、D•T =丄/・clx —［解析］由于作变量代换t = 2x,则 2 2 ,当x=0时，t = 0；当x"时，t = 2o则有8、 A.f(x)dx = O［解析］f (x) =X3+X在区间［-2, 2］上是连续的奇函数，则o9、 C［解析］选项C中，由于被积函数f (x)=x+sinx在区间［-1,叮上是连续的奇函数，所以有flI ］Cr + sinz必=010^ B"刍必=马1曲丄4=_昇卡 2—+8十 1 21［解析］由无穷区间上广义积分收敛性的定义可知,^cix— \ im二、填空题11、 tanxtan /d/ = lariT［解析］由变上限定积分求导定理，有12、［解析］由变上限定积分求导定理，有/ V)=［(心1工7呵=弹41+”(厂丁=+F13、 arctanx［解析］由变上限定积分求导定理，冇厂（文）=石（（arctan /d/ = arclanT14、［解析］由于被积函数X2 ［f (x) -f (-X)］在积分区间［・a, a］是连续的奇数,所以 川/(工)-/(-才)血=0J-U15、［解析］由于被积函数f (x)=xcosx在积分区间J ^rcos.rf/7 =0212 |是连续的奇数，所以QJ16>S1HJ加=a% ［-2L51［解析］由于被积函数 】T cos t在积分区间I 2 2」是连续的奇函数，所以f严J必=0y 1+cosv3兀2-3偶函数在对称区间上的定积分性质可得+ si n.r）tZr = f +rST .sin.zvZzff2一:<7ro2~318>r厅11 *"'()［解析］由于被积函数f (x)=xcosx在积分区间［-n, n］是连续的奇函数，所以… 一19、［解析］J J njtZr =疋 I n” ] — ] -bl n /?- 6 + 1 = 1,解得b=e匹20、2［解析］三、解答题22、求二元方程确定的一limsiiLr=llimsinX元隐函数的微分时，须用到变上限定积分求导定理的推论。 解法I (公式法)方程两边对x求导yh + 2ry— Jl +$5'=()・(JI +j? —.r2)j?=Zrj ■2〕y =匸■ ■兰 r cl v = vWr = ‘ dt:• ji+b-F - 丘7 7解法n (直接微分衬讪+ 2叱-斤孑妇0, dy= ■―dr解得 Jl +b ~r~的连续性23、本题为将变上限定积分求导定理应用于讨论函数心也小起警如2,24、f(0 + 0) = 1 im fix) = I ini 丄P cos7cl t =【im 弋・心=1 o-r-0B ―心才山 1因为f (0-0) Hf (0 + 0),所以函数f (x)在点x=0处不连续，x=0为函数f (x)的间断点r( 7 一 為必=(lnN-ln|2r+l|)作变量代换，令cosx=t,贝ljsinxdx=-dt,当x=0吋，t = l,当f2_CO^_dcosjr=_lf2n l + cos\zrising cosj" h 1 +cos2jr解法II：连续两次凑微分，使用凑微分公式si nxdr = —d cos.r • cosjy/ cos/ =当 〃(1 + cos2t)I_ ?r2吋，M/ 1 + COS^T}"1 + cos\r25、解法I :p sin^cosj- k 1 + cos27T26、作变量代换，令7"='『I寿心山胡》-xln(l + cos:lr) 2 =i|n2o 乙,贝ljdx=2tdt,当x=0时，t = 0；当x=4时，t = 2o占十巾： = —In3)ry~~- dx = 4 飞 dl27、作变量代换，令 2 - 1 /,则X=ln(l+t2), 丨+广当x=0时，t = 0；当x=ln2时，t = lo广产1必= 2(：畚d/ = 2「(l +芒严=2(—心讪討2(1-爭28、本题主要考查用换元积分法计算定积分。 dx = —^—rdt解法I :作变量代换，令4-ex=t,则x=ln (4-t) , '一 4—* f [/ =(/一4当x=0时，t = 3；当x=l时，t=4-eo •4•制=(ln|/—4| —ln|/[)■■■=1 — ln(4 —e) + In3 00)解法II：凑微分法，使用凑微分公式exdx=-d(4-ex),古心)J：右必=H1+名必=仏一L'29、用定积分=文 * — In |4 —； = 1 — ln(4 — ^) -f- In3 D的积分区间可加性求分段函数的定积分Jjt+1 ■ hi < 1 ・“祐<心.占-gw -1= < J.r+ L [r\< 1,w,1
