高考数学集合总复习-数列-综合应用.docx

数列的综合应用答案 自主梳理1．(4)n＝1或n≥2自我检测1．C　2.B　3.C　4.C　5.B6.课堂活动区例1　解题导引　1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解　(1)由已知得，解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝.由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln a3n＋1＝ln 23n＝3nln 2.又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln 2.故Tn＝ln 2.变式迁移1　D　[设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a1＋2d＝4，又04，故(2)正确；a4＝a3＋d>5，所以b4＝2a4>32，故(3)正确；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2b4＝2a2＋a4＝28＝256，故(4)正确．]例2　解题导引　这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an，观察Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最后利用不等式知识求出m.解　(1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋，∴{an}是以为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝n＋.(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－(a2＋a4＋…＋a2n)＝－·＝－(2n2＋3n)．(3)当n≥2时，bn＝＝＝，又b1＝3＝×，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝×＝＝，∵Sn<对一切n∈N*成立．即<，又∵＝递增，且<.∴≥，即m≥2 010.∴最小正整数m＝2 010.变式迁移2　解　(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.∴a2＋a4＝20.∴解之，得或又{an}单调递增，∴　∴an＝2n.(2)bn＝2n·log2n＝－n·2n，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②∴①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.由Sn＋(n＋m)an＋1<0，即2n＋1－n·2n＋1－2＋n·2n＋1＋m·2n＋1<0对任意正整数n恒成立，∴m·2n＋1<2－2n＋1对任意正整数n，m<－1恒成立．∵－1>－1，∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1]．例3　解　依题意，第1个月月余款为a1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500，第2个月月底余款为a2＝a1(1＋20%)－a1×20%×10%－300，依此类推下去，设第n个月月底的余款为an元，第n＋1个月月底的余款为an＋1元，则an＋1＝an(1＋20%)－an×20%×10%－300＝1.18an－300.下面构造一等比数列．设＝1.18，则an＋1＋x＝1.18an＋1.18x，∴an＋1＝1.18an＋0.18x.∴0.18x＝－300.∴x＝－，即＝1.18.∴数列{an－}是一个等比数列，公比为1.18，首项a1－＝11 500－＝.∴an－＝×1.18n－1，∴a12－＝×1.1811，∴a12＝＋×1.1811≈62 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元．纯收入有a12－10 000(1＋25%)＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3　解　(1)设中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则an＝250＋(n－1)·50＝50n＋200，Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n，令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400·(1.08)n－1.由题意可知an>0.85bn，即50n＋200>400·(1.08)n－1·0.85.当n＝5时，a5<0.85b5，当n＝6时，a6>0.85b6，∴满足上述不等式的最小正整数n为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.课后练习区1．C　2.B　3.B　4.B　5.D6．3　7.21　8.1079．解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.…………………………………………………(1分)a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－；又数列{an}成等比数列，a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q＝＝，an＝－×n－1＝－2×n，n∈N*；………………………………(3分)∵Sn－Sn－1＝＝＋(n>2)，……………………………………………………………………(4分)又bn>0，>0，∴－＝1.数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.当n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1；又当n＝1时，也适合上式，∴bn＝2n－1，n∈N*.……………………………………………………………………(6分)(2)Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝.……………………………………………(10分)由Tn＝>，得n>，∴满足Tn>的最小正整数为112.…………………………………………………(12分)10．解　设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为An(万元)，技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为Bn(万元)．依题意得An＝45n－[3＋5＋…＋(2n＋1)]＝43n－n2，………………………………………………………………………………(4分)当n≥5时，Bn＝＋164(n－5)－400＝81n－594，…………………………………………………………(8分)∴当n≥5时，Bn－An＝n2＋38n－594，令n2＋38n－594>0，即(n＋19)2>955，解得n≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(12分)11．解　(1)令x＝n，y＝1，得到f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，……………………………………………………………(2分)∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，即f(n)＝()n.………………………………………………………………………………(5分)(2)记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，∵an＝n·f(n)＝n·()n，……………………………………………………………………(6分)∴Sn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，Sn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1，两式相减得Sn＝＋()2＋…＋()n－n×()n＋1，整理得Sn＝2－()n－1－n()n<2.…………………………………………………………(9分)(3)∵f(n)＝()n，而bn＝(9－n)＝(9－n)＝.…………………………………………………………………(11分)当n≤8时，bn>0；当n＝9时，bn＝0；当n>9时，bn<0，∴n＝8或9时，Sn取到最大值．……………………………………………………(14分)。