概率论与数理统计笔记.doc

第一章概率论的基本概念1随机试验1. 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.2. 随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S二｛e｝，称S中的元素e为基本事件或样本点.3. 可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.2. 样本空间、随机事件1. 对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S样本空间的元素，即E的每个结果称为样本点.2. —般我们称S的子集A为e的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生.如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件为方便起见，记©为不可能事件，0不包含任何样本点.3. 若A„B，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件的发生若A„B且B„A，即A，B，则称事件A与事件B相等.#概率论与数理统计读书笔记4.和事件AB，5.当AB，„时，称事件A与B不相容的，或互斥的.这指事件A与事件B不能同时发生农本事件是两两互不相容的.aa一sAA一SA的逆事件记为A,{AA—S,若{AA—S,则称A,B互逆，互斥.AB，…xgA或xgAJ：A与B至少有一发生.AA，0.6. 当且仅当A,B同时发生时，事件AB发生.AB也记作AB.当且仅当A,B同时发生时Q件AB发生AB也记作AB.7. 事件A的对立事件：设A表尔事件“A出现”，贝“'事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.(1)交换律：AA,AB，BA，A(BC),(AB)C，A(BC)C)，ACBC，AB,AB，A3.频率和概率B，B(2)结合律：(AB)(3)分配律：(B)，(AC)(B(4)deMorgan彳事件间的运算规律：设A,B,C为事件,则有1.记f(A)=tnn其中-A发生的次数(频数);-总试验次数.A称f(A)为A在这n次试验中发生的频率.n频率f(A)反映了事件A发生的频繁程度.n2. 频率的性质：1。

00;(2)规范性：对于必然事件S，有P(S)€1；(3)可列可加性：设A,A,是两两相互不相容的事件，即对于12i，j，AA二©，i,j€1,2，则有ijP„AA)€P„A…+MA…+；12125.概率定义推得的重要性质.P(0)*…可加性1)2)U…4)(5)有限可加性若AAAA是两两互不相容的事件则有123nP„AAA…二P(A)+P„A…+P(A)12n12n对于任一事件P(A)<1对于任一事件A有P(A)€1-P„A)0(2) 规范性对于必然事件S，有P€s|A)=1(3) 可列可加性设bb是两两互不相容的事件，则有2=]…P(B|A)i=法定理：设P(A)〉0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)一般i8)BAi丿i=i丿3.推P(A)n4.全AAA为n个事件，n>2，且P(AAA)〉0有12n12n—1(AAAA)P(AAAA)xP(AA)P(A)n12n—1n—112n—2211•n—2式：设试验宅白的样本空间为S，A为E的事他B,BB为S的一个划分，且P(B)€0(i=1,2,...,n)，贝y12nip(a)二pCa|b)p,b)+pCa|b)p,b)+„pCab)p(b)1122nn5. 贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B,BB为S的一个划分，且P(B)€0・=1—)，贝y12ni,)P(AB)P(B)P切AL…。

AB)p(B)jjj=16. 独立性1. 定义：设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立，简称A,B独立.若P(A)€0,P(B)€0，则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立.2. 定理一：设A,B是两事件，且P(A)〉0，若A,B相互独立，则P6|A)二P(B).反之亦然.3. 定理二：若事件A与B相互独立则A与B，A与B，A与B也相互独立.4. 推广定义：设A,B,C是三个事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立.5. A,B相互独立oA,B相互独立oA,B相互独立oA,B相互独立当P,AB)=P,A)•P,B)时pCab)=p,A-Ab)=p,A)-p,Ab)=p,A)<1-p,b)]=p,A)pG)第二章随机变量及其分布1.随机变量1. 定义：设随机试验的样本空间S，{e},X二X{e}是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X，X{e}为随机变量.离散型常见的两类随机变量{离散型.连续型2. 本书中一般以大写字母如X,Y,乙W，…表示随机变量，而以小写字母x,y,z,w,...表示实数.2. 离散型随机变量及其分布律1. 定义：有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.2. 定义：取值可数的随机变量为离散量.一般地，设离散型随机变量X所有可能取的值为x(k,1,2,....)kx取各个可能值的概率论，即事件的概率为P{X，x}，p,k，1,2,...kk称为离散型随机变量X的分布律。

p满足如下两个条件：k(1) p„0(2)艺p，1kkk,13. (0－1)分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是P{X—k}—pkq1_k,k—0,1(0

在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量.2. 概率密度f(x)性质：(1) f(x)<0(2) Jgf(x)dx=1,g(3) 对于任意实数x,x，(x€x)，1212p{x„X€x}=F(x)，F(x)=Jx2f(xAx1221x1(4) 若f(x)在点x处连续则有F(x)=f(x)3. 均匀分布：设连续型随机变量X具有概率密度f1口a„x„bf(x)==‘b-a，则称X在区间(a,b)上服从均匀分布.记为0,其他XU(a,b).易知f(x)>0,且J®f(x)dx=1.-,4指数分布：设连续型随机变量X具有概率密度f0才…e「x/e…x>0，其中…〉0为常数，则称X服从参数为…的指0,其他数分布.易知f(x)>0,且„"f(x)dx=l.-,5正态分布：设连续型随机变量X具有概率密度1(x-Jf(x)=e-2o2，-，F(x,y);。