数学奥赛专题复习-因式分解.doc

第一讲 因式分解(一)　　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．　　1．运用公式法　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．　　下面再补充几个常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．　　例1 分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；　　(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；　　(4)a7-a5b2+a2b5-b7．　　解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)　　　　　　　=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]　　　　　　　=-2xn-1yn(x2n-y2)2 　　　　　　　=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．　　(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)　　　　　 =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．　　(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2　　　　　＝(a-b)2+2c(a-b)+c2　　　　　=(a-b+c)2．　　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：　　原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)　　　　=(a-b+c)2　　(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)　　　　　 =a5(a2-b2)+b5(a2-b2)　　　　　 =(a2-b2)(a5+b5)　　　　　 =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)　　　　　 =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)　　例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．　　分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　　的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．　　解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc　　　　　 =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)　　　　　 =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)　　　　　 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．　　说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为　　a3+b3+c3-3abc　　　　　　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．　　例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．　　解 因为　　x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，　　所以　　　　说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．　　2．拆项、添项法　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．　　例4 分解因式：x3-9x+8．　　分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．　　解法1 将常数项8拆成-1+9．　　原式=x3-9x-1+9　　　　=(x3-1)-9x+9　　　　=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．　　解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．　　原式=x3-x-8x+8　　　　=(x3-x)+(-8x+8)　　　　=x(x+1)(x-1)-8(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．　　解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．　　原式=9x3-8x3-9x+8　　　　=(9x3-9x)+(-8x3+8)　　　　=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．　　解法4 添加两项-x2+x2．　　原式=x3-9x+8　　　　=x3-x2+x2-9x+8　　　　=x2(x-1)+(x-8)(x-1)　　　　=(x-1)(x2+x-8)．　　说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．　　例5 分解因式：　　(1)x9+x6+x3-3；　　(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；　　(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；　　(4)a3b-ab3+a2+b2+1．　　解 (1)将-3拆成-1-1-1．　　原式=x9+x6+x3-1-1-1　　　　=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)　　　　=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)　　　　=(x3-1)(x6+2x3+3)　　　　=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．　　(2)将4mn拆成2mn+2mn．　　原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn　　　　=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn　　　　=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)　　　　=(mn+1)2-(m-n)2　　　　=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．　　(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．　　原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4　　　　=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2　　　　=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2　　　　=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．　　(4)添加两项+ab-ab．　　原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab　　　　=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)　　　　=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)　　　　=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)　　　　=[a(a-b)+1](ab+b2+1)　　　　=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．　　说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．　　3．换元法　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．　　例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．　　分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．　　解 设x2+x=y，则　　原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10　　　　=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)　　　　=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．　　说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．　　例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．　　分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．　　解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90　　　　　 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90　　　　　 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．　　令y=2x2+5x+2，则　　原式=y(y+1)-90=y2+y-90　　　　=(y+10)(y-9)　　　　=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)　　　　=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．　　说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．　　例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．　　解 设x2+4x+8=y，则　　原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)　　　　=(x2+6x+8)(x2+5x+8)　　　　=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．　　说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．　　例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．　　解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2　　　　　　　=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2　　　　　　　=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2　　　　　　　=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2　　　　　　　=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]　　　　　　　=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)　　　　　　　=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)。