学而思-小升初第14讲-杂题.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.------------------------------------------author------------------------------------------date学而思-小升初第14讲-杂题寒假杂题小升初名校真题专项测试-----竞赛类试题测试时间：15分钟 姓名_________ 测试成绩_________1、有7双白手套，8双黑手套，9双红手套放在一只袋子里一位小朋友在黑暗中从袋中摸取手套，每次摸一只，但无法看清颜色，为了确保能摸到至少6双手套，他最少要摸出手套（       ）只 (手套不分左、右手，任意二只可成一双)  （05年三帆中学入学测试题）【解】考虑运气最背情况，这样我们只能是取了前面5双颜色相同的后再取三只颜色不同的，如果再取一只，那么这只的颜色必和刚才三只中的一只颜色相同故我们至少要取5×2+3+1=14只。

2、有一批长度分别为1，2，3，4， 5，6，7，8，9，10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形;如果规定底边是11厘米，你能围成多少个不同的三角形? （06年实验中学入学测试题）【解】由于数量足够多，所以考虑重复情况；现在底边是11，我们要保证的是两边之和大于第三边，这样我们要取出的数字和大于11.情况如下：一边长度取11，另一边可能取1～11总共11种情况；一边长度取10，另一边可能取2～10总共9种情况；… …一边长度取6，另一边只能取6总共1种；下面边长比6小的情况都和前面的重复，所以总共有1+3+5+7+9+11=36种3、已知A，B，C，D和A+C，B+C，B+D，D+A分别表示1至8这八个自然数，且互不相等．如果A是A，B，C，D这四个数中最大的一个数，那么A是________． （03年资源杯）【解】整体思想，把这8个数相加，我们发现每个数都加了三遍，这样总共和是1+2+3…+8=36，所以A+B+C+D=36÷3=12，因为A+C，B+C，B+D，D+A也是表示1～8中间的数，那么A、B、C、D中间必有表示1、2的数，那么剩下两数和为12-1-2=9，可能情况为：1)4、5; 如果是，那么我们发现8没办法用两个数凑出来，所以不符合条件；2）3、6；符合情况。

4、某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间结束的时间及各是什么时刻 （03年人大附中入学测试题）【解】因为几点钟响几下，所以14=2+3+4+5，所以响的是2、3、4、5点，那么开始后10分钟才响就是说开始时间为1点50分结束时，时针和分针恰好成90度角，所以可以理解为5点过几分钟时针和分针成90度角，这样我们算出答案为10÷=10分钟，所以结束时间是5点10分钟可以考虑还有一种情况，即分针超过时针成90度角，时间就是40÷）5、两人按自然数的顺序轮流报数，每个人只能报1个数或2个数.比如第一个人可以报1，第二个人可以报2或2、3，第一个人也可以报1、2，第一个人可以报3或3、4，这样继续下去，谁报到30，谁就获胜.请问，谁有必胜的测略？ （06年试验中学入学测试题）【解】博弈问题，我们从后面考虑，因为每人只能报1个数或2个数，如果想报30获胜，那么就得最后报到27，这样对方不能报到30，而你能接着报到30，这样你的目标变成要报到27，同理如果你要报到27，那就必须保证你能报到24，这样每3个数一个周期，所以最后30÷3=10，所以让对方先报，让你和对方的数字和为3个你就肯定赢。

小结：一般地，目标数m,每次限报n个，m=(n+1)k+r. r=0,后报必胜，策略是每个回合两人所报个数和为1+n. r≠0,先报必胜，策略是先报完r，以后每个回合两人所报个数和为1+n.6、设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于_________分钟.【解】不难得知应先安排所需时间较短的人打水．不妨假设为：第一个水龙头第二个水龙头第一个AF第二个BG第三个CH第四个DI第五个EJ显然计算总时间时，A、F计算了5次，B、G计算了4次，C、H计算了3次，D、I计算了2次，E、J计算了1次．那么A、F为1、2，B、G为3、4，C、H为5、6，D、I为7、8，E、J为9、10．所以有最短时间为(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分钟．评注：下面给出一排队方式：第一个水龙头第二个水龙头第一个12第二个34第三个56第四个78第五个9107、4道单项选择题，每题都有A、B、C、D四个选项，其中每题只有一个选项是正确的，有800名学生做这四道题，至少有 4 人的答题结果是完全一样的？ （05年101中学入学测试题） 【解】: 因为每个题有4种可能的答案，所以4道题共有4×4×4×4＝256种不同的答案，由抽屉原理知至少有：+1＝4人的答题结果是完全一样的．第十四讲 小升初专项训练-----竞赛类试题训练引言：本讲包括： 操作，合理安排，最值，最佳对策，通过复习，加深巩固对这些知识块的认识。

这些知识相当杂，牵涉到的东西非常多，在考试之中涉及到的虽然不会很多，但是偶尔会涉及到，因此我们必须要把这些知识学会，学懂一般地会有一部分学校的升学考试会涉及到这些知识但这部分知识也没有必要花太多的精力，只要把我们讲义上的东西搞清楚了就已经差不多了一、数字迷【例1】：．（★★★★）ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少？解答：[思 路]：首先可以根据ABCD+EFG=1993讨论字母中确定的数，再讨论其中数值可能的取值解：因为ABCD+EFG=1993，首先A=1，B+E≤9；D+G个位为3，因为A=1，所以剩下大小为2+3=5, 则D+G只能是13，即4+9或5+8或6+7；根据和一定，两数之差越小乘积越大，B、E应选2、7；那么，C+F只能等于8，即只有3、5一种选择，由此也就确定了D、G只能选4、9；所以，两数为1234和759时乘积最大，1234×759=936606；两数为1759和234时乘积为最小，1759×234=411606；936606-411606=525000，乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差525000。

[总 结]：字谜中最重要的是学会分析取值可能性[拓 展]：已知a，b，c，d，e，f，g，h分别代表0至9中的8个不同数字，并且a≠0，e≠0，还知道有等式abcd－efgh=1994,那么两个四位数abcd与efgh之和的最大值是多少？最小值是多少？【例2】：．（★★★★）小明按照下列算式： 乙组的数□甲组的数〇1＝ 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入下图的表中有人发现表中14个数中有两个数是错的，请你改正问改正后的两个数的和是多少？[思 路]：要找出哪两个数错的，我们得先通过剩下的找出方框和圆中都填了什么符号，再进行判断解答：首先，由结果中的数值都增大比较多，可以初步判断方框中应填除号，圆圈中应填加号试算：由此可以确定上面的填运算符号是正确的，且4又5/16是错误之一，应为4又55/16；再对第二行数据试算，发现结果都不符，说明“2”是错的用还原法逆推，（3.4-1）÷0.625=1.5=3/2，验算均符合所以，第二个错误是乙数“2”应为3/2那么，4又55/16+3/2=6又7/16[总 结]：此题的重点在于初步判断符号，此时要大胆的先试验一下，再进行判断。

例3】：、（★★★）在下面的圆圈和方框中，分别填入适当的自然数，使等式成立问在方框中应填多少？ [方法一]：[思 路]：从条件上看，本题没有太好的突破口但是不难体会，填入的两个自然数不可能都很大，就是说其中至少有一个比较小，否则两个分数的和达不到11/12这就提供了讨论的可能．解：记圆圈里填入的是A，方框里填入的是B，那么＋＝ 不难验证，当A=2、3、4、5时，相应的B都不是自然数，也就不是所求的答案． 当A≥6时，有≥一=，得B≤38．又因为显然<，得B≥32．由原条件，可得等式　　　　　　　　　A＝将B=32、33……38依次代入上式，只有B=32和36时得到的A才是整数，即＋＝，＋＝ 因此，方框中填的数是32或36．[方法二]：直接试验[思 路]：直接展开，找出符合情况的，但答案往往是不唯一的解：11/12=33/36=（4+29）/36=4/36+29/36=1/9+29/36， 所以，在方框中应填3636是一个非常容易得到的答案，但不一定是唯一的 [方法三]：不定方程[思 路]：设数再按要求列方程解：设：1/x+29/y=11/12，则：x(348+y)=12y(x-1)， 当x>y时，解得x=96，y=32； 当x

[总 结]：本题更应该算是一道不定方程的题目，所以解法有些与众不同．有兴趣的读者可以试用解不定方程的方法来解本题．[拓 展]：A/11+B/3=37/33，问A，B分别为多少？二、最值问题【例1】：．（★★★）将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得的5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？ [思 路]：要使积最小，就要每个数尽可能小，则一定要使大数和小数凑解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小对于10，旁边添6和7，这样积小一些于是有两种添法： 经计算，第二种方法好，得出312例2】：．（★★★★）有13个不同自然数，它们的和是100问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？ [思 路]：奇偶性分析，要使偶数最多，则偶数的和要越小越好，而且偶数的个数要为奇数个解：①要使偶数最多，则偶数的和要越小越好，而且偶数的个数要为奇数个，这样2+4+6+8+10+1。