傅里叶变换在信号处理中的应用.doc

傅里叶变换在信号处理中的应用傅里叶变换简单的说，就是把信号从时域变化的频域分析传统的傅里叶变换在数字信号处理中使用的并不多，因为傅里叶变换是一般用于连续信号的分析使用最多的是离散傅里叶变换（DFT） ，而 DFT 是可以使用快速傅里叶变换（FFT ）实现的也就是运算复杂度小，可以用 DSP 等硬件轻易实现 DFT 是现代信号处理的基础，应用非常广泛，比如自适应滤波器啊，阵列信号处理、正交频分复用等等都用的到傅里叶变换在信号处理中有着很广泛的应用，首先我们来了解一下什么是傅里叶变换f(t）是 t 的函数，如果 t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积则有下图①式成立称为积分运算 f(t）的 傅立叶变换，② 式的积分运算叫做F（ω ）的傅立叶逆变换F（ω）叫做 f(t）的 像函数，f(t ）叫做F（ω ）的像原函数F（ω）是 f(t）的像 f(t）是 F（ω）原像①傅里叶变换②傅里叶逆变换傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小） 。

尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；4.著名的卷积定理 指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)).正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

有関傅立叶变换的 FPGA 实现傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域但由于其运算量与变换点数 N 的平方成正比关系，因此，在 N 较大时，直接应用 DFT 算法进行谱变换是不切合实际的然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化本文主要描述了采用 FPGA 来实现 2k/4k/8k 点 FFT 的设计方法离散傅里叶变换的应用DFT 在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子需要指出的是，所有 DFT 的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法1.频谱分析DFT 是连续傅里叶变换的近似因此可以对连续信号 x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号 x(t)频谱的性质前面还提到 DFT 应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏2.数据压缩由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。

高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号快速傅里叶变换的应用离散傅里叶变换(DFT) 存在的不足是计算量太大,很难进行实时处理计算一个 N 点的 DFT ,一般需要 次复数乘法和 N(N-1)次复2N数加法运算因此,当 N 较大或要求对信号进行实时处理时,往往难以实现所需的运算速度1965 年,J.W.Cooly 和 J.W.Tukey 发现了 DFT 的一种快速算法,经其他学者进一步改进, 很快形成了一套高效运算方法,这就是现在通用的快速傅里叶变换, 简称 FFT快 速 傅 里 叶 变 换 的 产 生 ， 使 得 傅 里 叶 变 换 大 为 简 化 ， 在 不 牺牲 耗 电 量 的 条 件 下 提 高 了 系 统 的 运 算 速 度 ， 增 强 了 系 统 的 综 合 能力 ， 提 高 了 运 算 速 度 ， 因 此 快 速 傅 里 叶 变 换 在 生 产 和 生 活 中 都 有着 非 常 重 要 的 作 用 ， 对 于 学 习 掌 握 都 有 着 非 常 大 的 意 义 。