高中数学导数在函数极值方面的误区知识点分析新人教A版选修11.doc

导数在函数极值方面的误区ⅰ.将“稳定点”等同于“极值点”定义1：可导函数的方程的根，称为函数的稳定点定义2：设函数在区间有定义，若，且存在的某邻域，，有，则称是函数的极大点（极小点），是函数的极大值（极小值）极大点和极小点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值对于“”只是它为“函数的极值点”的必要而不充分条件即函数的极值点必然在函数的稳定点的集合之中，反之，不成立，即稳定点不一定是极值点例3中的函数，它在上可导，由方程，解得唯一稳定点，从图像上看，显然点不是可导函数的极值点例6.函数的极值点是 ┈┈┈┈┈┈┈┈（ ）错解：导函数，令，解得，故答案应选C剖析：这三点都是稳定点，那是不是极值点？存在极值点条件：导函数在稳定点的两侧有不同的符号，必是函数的极值点显然导函数在两侧有相同的符号，不是函数的极值点正解：由知，当时，，当时，；当时，，当时，，故在上是单调递增函数；在上是单调递减函数因此，只有为极小值点，而和不是极值点（实际上是函数的拐点），故应选D例7.函数，当时，有极值，那么的值为 误解：导函数，因为函数在处有极值，可得 ，解得 或因此 或 剖析：上述解题忽略了一个细节，解题过程中只用到，和，这能说明它是极值点吗？当、时，函数在上是增函数，显然不是函数的极值点；验证当、时，是函数的极值点。

故ⅱ.误把极值当最值例8.求函数在区间上的最值误解：导函数，解得，或，经验证，和都是函数的极值点，即为极大值，为极小值，因此函数的最大值为，最小值为剖析：本题是误把“极值”当成“最值”所导致的错误对于上面所给出的定义可知，极值是一个局部概念，是函数在某一点的小领域内的最值；而最值是整体概念，是在整个闭区间上的最值在一个区间上可能有很多极大值（极小值），而且某些极大值还可能小于某些极小值，但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）因此求函数闭区间上的最值，需要将函数的一切极值与其端点值进行比较才能确定本题两端点值，所以函数的最大值为，最小值为ⅲ.把极值点的取值范围扩大例9.函数在区间上的极大值就是最大值，则的取值范围误解：导函数，令，解得，经验证是函数的极值点，所以，解得，故的取值范围是剖析：定义2，即极值定义，不难发现极值点在区间的内部（即不能是区间的端点），是函数的极值是与函数在的某个领域上的函数值比较而言因此是函数的极大值点，有题意得，，解得，故的取值范围是。