一元二次方程解法及其配套练习-精心--方法全面-例题经典.doc

一元二次方程解法及其配套练习定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于*的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式a*2+b*+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a*2+b*+c=0（a≠0）后，其中a*2是二次项，a是二次项系数；b*是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 解法一: ——直接开方法适用围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如(*-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为*=m±√n 我们已经讲了*2=9，根据平方根的意义，直接开平方得*=±3，如果*换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程例1：解方程：(1)(2*-1) 2=5 (2)* 2+6*+9=2 (3)* 2-2*+4=-1分析：很清楚，*2+4*+4是一个完全平方公式，则原方程就转化为（*+2）2=1． 解：(2)由已知，得：（*+3）2=2 直接开平方，得：*+3=± 即*+3=，*+3=- 所以，方程的两根*1=-3+，*2=-3-例2．市政府计划2年将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为*．一年后人均住房面积就应该是10+10*=10（1+*）；二年后人均住房面积就应该是10（1+*）+10（1+*）*=10（1+*）2 解：设每年人均住房面积增长率为*， 则：10（1+*）2=14.4 （1+*）2=1.44 直接开平方，得1+*=±1.2 即1+*=1.2，1+*=-1.2 所以，方程的两根是*1=0.2=20%，*2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，*2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？解： 设*秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=*，BQ=2* 依题意，得：*·2*=8 *2=8 根据平方根的意义，得*=±2 即*1=2，*2=-2 可以验证，2和-2都是方程*·2*=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．例4．*公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为*，则二月份的营业额就应该是（1+*），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+*）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为*． 则1+（1+*）+（1+*）2=3.31 把（1+*）当成一个数，配方得： （1+*+）2=2.56，即（*+）2=2．56 *+=±1.6，即*+=1.6，*+=-1.6 方程的根为*1=10%，*2=-3.1 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如*2=p（p≥0），则*=±转化为应用直接开平方法解形如（m*+n）2=p（p≥0），则m*+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解配套练习题一、选择题 1．若*2-4*+p=（*+q）2，则p、q的值分别是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3*2+9=0的根为（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 3．用配方法解方程*2-*+1=0正确的解法是（ ）． A．（*-）2=，*=± B．（*-）2=-，原方程无解 C．（*-）2=，*1=+，*2= D．（*-）2=1，*1=，*2=- 二、填空题 1．若8*2-16=0，则*的值是_________． 2．如果方程2（*-3）2=72，则，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，则ab的值是_______． 三、综合提高题 1．解关于*的方程（*+m）2=n． 2．*农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m． （1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？ （2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，*同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用围：可解全部一元二次方程 引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？ 列出方程化简后得：*2+6*-16=0*2+6*-16=0移项→*2+6*=16两边加（6/2）2使左边配成*2+2b*+b2的形式 → *2+6*+32=16+9左边写成平方形式 → （*+3）2=25 降次→*+3=±5 即 *+3=5或*+3=-5 解一次方程→*1=2，*2= -8可以验证：*1=2，*2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(*+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是*=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于*的方程 （1）*2-8*+1=0 （2）*2-2*-=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上． 解：略例2．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 分析：设*秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式． 解：设*秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 根据题意，得：（8-*）（6-*）=××8×6 整理，得：*2-14*+24=0 （*-7）2=25即*1=12，*2=2 *1=12，*2=2都是原方程的根，但*1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 例3．解下列方程 （1）2*2+1=3* （2）3*2-6*+4=0 （3）（1+*）2+2（1+*）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有*的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6*+7）2（3*+4）（*+1）=6 分析：因为如果展开（6*+7）2，则方程就变得很复杂，如果把（6*+7）看为一个数y，则（6*+7）2=y2，其它的3*+4=（6*+7）+，*+1=（6*+7）-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法． 解：设6*+7=y 则3*+4=y+，*+1=y- 依题意，得：y2（y+）（y-）=6 去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72， y4-y2=72 （y2-）2=y2-=±y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3 当y=3时，6*+7=3 6*=-4 *=- 当y=-3时，6*+7=-3 6*=-10 *=- 所以，原方程的根为*1=-，*2=-例5. 求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.解：略配套练习题一、选择题 1．配方法解方程2*2-*-2=0应把它先变形为（ ）． A．（*-）2= B．（*-）2=0 C．（*-）2= D．（*-）2=2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）． A．*2+1=0 B．（2*+1）2=0 C．（2*+1）2+3=0 D．（*-a）2=a 3．已知*2+y2+z2-2*+4y-6z+14=0，则*+y+z的值是（ ）． A．1 B．2 C．-1 D．-24．将二次三项式*2-4*+1配方后得（ ）． A．（*-2）2+3 B．（*-2）2-3 C．（*+2）2+3 D．（*+2）2-3 5．已知*2-8*+15=0，左边化成含有*的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A．*2-8*+（-4）2=31 B．*2-8*+（-4）2=1 C．*2+8*+42=1 D．*2-4*+4=-11 6．如果m*2+2（3-2m）*+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于*的完全平方式，则m等于（ ）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9二、填空题1．方程*2+4*-5=0的解是________． 2．代数式的值为0，则*的值为________．3．已知（*+y）（*+y+2）-8=0，求*+y的值，若设*+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为*+y的值，所以*+y的值为______． 4．如果*2+4*-5=0，则*=_______． 5．无论*、y取任何实数，多项式*2+y2-2*-4y+16的值总是_______数． 6．如果16（*-y）2+40（*-y）+25=0，则*与y的关系是________． 三、综合提高题 1．用配方法解方程．（1）9y2-18y-4=0 （2）*2+3=2*2．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程*2-4*+3=0的解，求这个三角形的周长． 3．如果*2-4*+y2+6y++13=。