周第一次课分块矩阵.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,几何与代数,主讲,:,王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第二章,矩阵,第三节,分块矩阵,回 顾,行列式的乘法定理,定理,2.1,假设,A,B,都是,n,阶方阵，则,|AB|=|A|B|,问题：设,.,则,|A,100,|=,？,A=,2,3 5,1.,定义,2.6,:,设,A,为方阵,若存在方阵,B,使得,AB,=,BA,=,E,则称,A,可逆,(,invertible,),并称,B,为,A,的,逆矩阵,(,inverse matrix,).,A,的逆矩阵记为,A,1,.,2.,逆矩阵的唯一性,3.,设,A,是,n,阶方阵则,(1),A,可逆的充分必要条件是,|,A,|,0.,(2),当,|,A,|,0,且,n 2,时,有,A,1,=,|,A,|,1,A,*.,可逆矩阵,定义,2.7,.,设,A,=,a,ij,n,n,为方阵,(,n 2,),元素,a,ij,的代数余子式为,A,ij,则称如下矩阵,A,*=,A,11,A,21,A,n,1,A,12,A,22,A,n,2,A,1,n,A,2,n,A,nn,为方阵,A,的,伴随矩阵,.,可逆矩阵的等价定义：,假设,A,是,n,阶方阵。

若存在,n,阶方阵,B,使得,AB=E(,或者,BA=E),则称,A,是可逆的，,B,是,A,的逆矩阵回顾结束,第二章 矩阵,2.2,逆矩阵,二,.,逆矩阵的运算性质,设,A,B,为同阶可逆方阵,数,k,0.,则,(1),(,A,1,),1,=,A,；,(2),(,A,T,),1,=(,A,1,),T,.,(3),(,k,A,),1,=,k,1,A,1,；,(4),AB,可逆,A,和,B,可逆,;,当,AB,可逆时，,(,A,B,),1,=,B,1,A,1,.,例,.,设,A,与,E,A,都可逆,G,=(,E,A,),1,E,求证,G,也,可逆,并求,G,1,.,证明,:,G,=(,E,A,),1,(,E,A,),1,(,E,A,),=,(,E,A,),1,(,E,(,E,A,),)=,(,E,A,),1,A,G,1,=,A,1,(,E,A,)=,A,1,E,.,第二章 矩阵,2.2,逆矩阵,可以表示为,Ax,=,b,.,则线性方程组,x,1,x,2,x,n,记,x,=,b,1,b,2,b,m,b,=,A,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,三,.,应用,下面讨论,A,为,n,阶方阵的情形,.,第二章 矩阵,2.2,逆矩阵,Cramer,法则,.,若系数行列式,D,=|,A,|,0(,等价地,A,可逆,),则,线性方程组,Ax,=,b,有唯一的解,x=A,1,b,.,对于,n,元线性方程组,Ax,=,b,比较第一章的结果,思考：,更一般地，如果,n,阶矩阵,A,是可逆阵，,B,是,nt,矩阵，则矩阵方程,AX=B,有唯一解吗？,或者当,C,是,sn,矩阵，矩阵方程,YA=C,有唯一解吗？,X=A,1,B,Y=CA,1,参见教材,63,页的例,2.11.,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,一,.,基本概念,1 0 0 1 2,0 1 0 4 5,0 0 1 7 6,3 2 1 0 0,6 5 4 0 0,2.3,分块矩阵,1 0 0,1 2,0 1 0,4 5,0 0 1,7 6,3 2 1,0 0,6 5 4,0 0,=,E,3,B,C,O,2,分块矩阵,二,.,基本运算,分块加法,A,=,A,11,A,12,A,1,r,A,21,A,22,A,2,r,A,s,1,A,s,2,A,sr,B,=,B,11,B,12,B,1,r,B,21,B,22,B,2,r,B,s,1,B,s,2,B,sr,A,11,+,B,11,A,12,+,B,12,A,1,r,+,B,1,r,A,21,+,B,21,A,22,+,B,22,A,2,r,+,B,2,r,A,s,1,+,B,s,1,A,s,2,+,B,s,2,A,sr,+,B,sr,.,A,+,B,=,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,设矩阵,A,=,A,11,A,12,A,1,r,A,21,A,22,A,2,r,A,s,1,A,s,2,A,sr,为常数,.,A,11,A,12,A,1,r,A,21,A,22,A,2,r,A,s,1,A,s,2,A,sr,.,则,A,=,2.,分块数乘,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,设矩阵,A,=,A,11,A,12,A,1,r,A,21,A,22,A,2,r,A,s,1,A,s,2,A,sr,A,11,T,A,21,T,A,s,1,T,A,12,T,A,22,T,A,s,2,T,A,1,r,T,A,2,r,T,A,sr,T,.,则,A,T,=,3.,分块转置,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,3.,分块乘法,设,A,为,m,l,矩阵,B,为,l,n,矩阵,将它们分块如下,A,=,A,11,A,12,A,1,q,A,21,A,22,A,2,q,A,p,1,A,p,2,A,pq,B,=,B,11,B,12,B,1,r,B,21,B,22,B,2,r,B,q,1,B,q,2,B,qr,其中,A,i,1,A,i,2,A,iq,的列数分别与,B,1,j,B,2,j,B,qj,的,行数相等,.,(,i,=1,2,p,;,j,=1,2,r,.),C,11,C,12,C,1,r,C,21,C,22,C,2,r,C,p,1,C,p,2,C,pr,其中,C,ij,=,A,i,k,B,k,j,则,AB,=,k,=1,q,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,k,1,k,2,k,q,k,1,k,2,k,q,1 0,1,0,1 2 0 1,1 0,4 1,1 1 2,0,B,=,求,AB,.,1 0,0,0,0 1 0 0,1 2,1 0,1 1 0 1,例,.,设,A,=,解,:,A,=,E,O,A,1,E,B,=,B,11,E,B,21,B,22,其中,E,=,1 0,0 1,1 2,1 1,A,1,=,1 0,1 2,B,11,=,1 0,1 1,B,21,=,4 1,2,0,B,22,=,.,于是,AB,=,E,O,A,1,E,B,11,E,B,21,B,22,B,11,E,A,1,B,11,+,B,21,A,1,+,B,22,=,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,于是,AB,=,E,O,A,1,E,B,11,E,B,21,B,22,B,11,E,A,1,B,11,+,B,21,A,1,+,B,22,=,而,A,1,B,11,=,1 2,1 1,1 0,1 2,3 4,0 2,=,A,1,B,11,+,B,21,=,3 4,0 2,1 0,1 1,+,A,1,+,B,22,=,1 2,1 1,4 1,2,0,+,2 4,1 1,=,3 3,3,1,=,.,B,11,E,A,1,B,11,+,B,21,A,1,+,B,22,从而,AB,=,=,.,1 0,1,0,1 2 0 1,2,4,3 3,1,1 3,1,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,二,.,常用的分块法,1.,将给定矩阵分为,2 2,的分块矩阵,例,假设,A,B,分别是,s,阶和,t,阶可逆矩阵，,证明：矩阵,可逆，并求其逆矩阵。

M,=,A O,C B,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,A,=,A,1,O,O,O,A,2,O,O,O,A,s,称为,分块对角矩阵,(,或,准对角矩阵,),其中,A,1,A,2,A,s,都是方阵,.,2.,分块对角矩阵,例如,2 1 0,0 0,0 2 1,0 0,0 0 2,0 0,0 0 0,1 2,0 0 0,3 4,.,若,A,1,A,2,，,A,s,都可逆，则,A,是否可逆？,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,A,=,A,1,A,2,A,n,.,3.,A,=,a,11,a,21,a,m,1,a,12,a,22,a,m,2,a,1,n,a,2,n,a,mn,A,1,=,a,11,a,21,a,m,1,A,n,=,a,1,n,a,2,n,a,mn,A,2,=,a,12,a,22,a,m,2,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,1,=,a,11,a,12,a,1,n,1,2,m,A,=,.,4.,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,A,=,2,=,a,21,a,22,a,2,n,m,=,a,m,1,a,m,2,a,mn,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,例,假设,A,B,分别是,sn,和,nt,矩阵。

利用下列分法写出乘积,A,B,1),将,A,的每一行视作一块，将,B,视作一块；,(2),将,A,的每个元素视作一块，将,B,的每一行视作一块；,(3),将,A,视作一块，将,B,的每一列视作一块；,(4),将,A,的每一列视作一块，将,B,的每个元素视作一块；,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,例,假设,A,是二阶方阵，,x,是二维非零列向量，若,A,2,x+3Ax=6x,B=(x,Ax),求一矩阵,C,，使得,AB=BC,.,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,例,假设,A=(a,ij,),4 5,B=,.,求一,对矩阵,C,D,使得,B=CAD,.,a,22,a,24,a,25,a,42,a,44,a,45,第二章 矩阵,2.3,分块矩阵,2.4,矩阵的秩,一,.,基本概念,这样的子式共有,个,.,k,阶子式,m,n,k,行,k,列,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,例如,:,A,=,2 0 4 1,0 1 3 2,4 0 8 2,2,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.,的,1,阶子式有,3,4,个,:,A,的,2,阶子式有,3,6,个,:,0 4,1 3,0 1,1 2,4 1,3 2,2 0,0 1,2 4,0 3,2 1,0 2,0 4,0 8,0 1,0 2,4 1,8 2,2 0,4 0,2 4,4 8,2 1,4 2,0 1,4 0,3 2,8 2,.,0 3,4 8,0 2,4 2,1 3,0 8,1 2,0 2,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,2 0 4 1,0 1 3 2,4 0 8 2,的,3,阶子式有,1,4,个,:,2 0 4,0 1 3,4 0 8,2 0 1,0 1 2,4 0 2,2 4 1,0 3 2,4 8 2,0 4 1,1 3 2,0 8 2,=,=,=,=0.,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,2.,矩阵,A,的,秩,(rank),记为,r(,A,),或,秩,(,A,),r(,A,)=,r,A,中至少有一个,r,阶子式,D,不为零,A,的所有,r,+1,阶子式都等于零,2 0 4 1,0 1 3 2,4 0 8 2,而,3,阶子式全为,0,因此它的秩为,2.,例如,有一个,2,阶子式,2 0,0 1,0,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,(4),r(,A,T,)=r(,A,),.,注,:(1),零矩阵的,秩,规定为,0.,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,(2),n,阶方阵,A,的秩等于,n,A,是可逆阵,.,(3),如果矩阵的秩等于它的行数，则称是,行满秩,的；类似有,列满秩,的概念,.,(5),如果,A,的每一个,k,阶子,式,都等于零，则,(6),如果,A,的有一个,k,阶子式不等于零，则,可逆矩阵也称为,满秩矩阵,或,非退化矩阵,r(,A,),k.,r(,A,),k.,问题,:,假若一个,5,6,的矩阵中所有,3,阶子式都等,于零,那么它的,4,阶子式中会出现非零的,吗,?,答,:,绝对不会,!,因为每个,4,阶子式都可以按行展开,通过一,些,3,阶子式的组合得到,.),第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,命题,2.1,r(A)=r,当且仅当,A,中存在非零的,r,阶子式，但,A,中所有,r+1,阶子式（如果存在的话）都等于零,.,第二章 矩阵,2.4,矩阵的秩,例,讨论矩阵 的秩。